2.4连续型随机变量及其分布.ppt

均匀分布的概率背景 (3) 正态分布 正态分布的重要性 作 业 7 正态分布由它的两个参数μ和σ唯一确定，当μ和σ不同时，正态分布也不同。 ⑥ 若μ固定，而改变σ的值，由于f (x)的最大值为 可知，σ越小该图形越陡，X的取值越集中;σ越大该图形越平坦，X的取值越分散。σ决定了图形中峰的陡峭程度，称σ为形状参数。 Ⅲ. 正态分布的分布函数 设 ，X 的分布函数是 而 ，即 X 服从标准正态分布的分布函数为 x 0 x -x 易得 227页 当 时, 可直接查表求 当 时, 如右图 由标准正态分布的查表计算可以求得， 这说明X的取值几乎全部集中在[-3,3]区间内， 当X～N(0,1) 时， 3σ准则 超出这个范围的可能性仅占不到0.3%。 * §2.4 连续型随机变量及其分布 第二章 第七讲 一、连续型随机变量的定义及性质 二、常用的连续型随机变量 1. 连续型随机变量的定义及性质 定义1. 设 F(x) 是随机变量 X的分布函数，若存在非负 (1) 概率密度的定义 ，使对任意实数x 有 函数 则称 X为连续型随机变量，称 为 X 的概率密度函 数，简称概率密度或密度函数。 常记为 (2) 概率密度的性质（6条） ① 非负性 ② 归一性 可由下图表示 f (x) x 面积为1 由于 这两条性质是判定一个函 的概率密度函数的充要条件。 是否为某随机变量X 数 f (x) x 图中阴影部分 在该区间上的改变量，等于 在该区间上的积分(与端点是否在内无关) ③ 对于任意的数 有 连续型随机变量 X 落在某区间[a, b]上的概率为F(x) ④ 分布函数 上连续，且密度函 在 数 不唯一（在个别点的值可不同）。 ⑤ 概率密度 在点x处连续，则有 的高度反映了随机点集中在该点附近的密集程度。 注意: 密度函数 f (x)在 这个高度越大，则X 取a 附近的值的概率就越大。也可以说，在某点密度曲线 f(x) 0 x 1 某点a 处的高度 f (a) 并不是 的概率。 这是因为 ⑥ 对于任意实数a，有 称A 为几乎不可能事件，B 为几乎必然事件. 这里事件 并非不可能事件，但 可见， 连续 解： 判断下列函数是否为某随机变量的概率密度 故 f(x) 可以作为某随机变量的概率密度。 是显然的； 例1 解: 设X 的分布函数为 求 例2 设连续型随机变量X的概率密度为 求 (1) 确定常数A的值；(2) F(x); 解： (1) 例3 离散型r.v.的 分布函数 连续型r.v.的 分布函数 分布函数 的性质 分布律与分布函数的关系 概率密度与分布函数的关系 分布函数 2.几种常用的连续型随机变量 (1) 均匀分布 定义 若随机变量X 的概率密度为： 则称X服从区间[a, b]上的均匀分布，记作 均匀分布的密度函数的验证 设 ，其中 是其密度函数，则有 因为 说明：r.v X 取值在(a, b)中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比。 均匀分布的分布函数 图形如下 a b x F (x) 0 1 解: 依题意，X～U [ 0, 30 ] 以7:00为起点0，以分为单位 某公共汽车站从上午7时起，每15分钟来一班车， 即 7:00，7:15，7:30, 7:45 等时刻有汽车到达此站. 如果乘客到达此站时间X 是7:00到7:30之间的均匀 随机变量，试求他候车时间少于5分钟的概率. 例4 所求概率为： 即乘客候车时间少于5分钟的概率是1/3. (2)指数分布 若随机变量X 的概率密度为： 指数分布，记为 指数分布的分布函数为 概率密度的图形 为常数，则称随机变量X服从参数为 的 其中 指数分布的密度函数的验证 设 ，其中 是其密度函数，则有 (2) 已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能使用两 电子元件的寿命X(年）服从λ＝3的指数分布 (1) 求该电子元件寿命超过2年的概率。 年的概率为多少？ 解： 由已知得 X 的概率密度为 例5 上面的结果显示了指数分布具有无记忆性，即 例：在大量重复试验中，得到一组数据，这组数据 虽然有波动，但总是以某个常数为中心。离中心越 近的数据越多；偏离中心越远的数据越少。取值呈 “中间大、两头小”的格局， 即取值具有对称性。 此随机变量是一个服从正态分布的随机变量。 正态分布是概率论中最重要的分布： ⑶ 正态分布可以作为许多分布的近似分布。 ⑴ 大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布。 ⑵ 正态分布有许多良好的性质。 正态分布是应用最广泛的一种连续型分布。 首次露面。正态分布在十九世纪前叶由高 德莫佛 高斯 德莫佛最早发现了二项分布概率的一个 近似公式，这一公式被认为是正态分布的 斯加以推广，所以通常称为高斯分布。 Ⅰ.