2.5-6随机微分方程.ppt

* 五 均方随机微分方程 在许多科学领域中,存在大量的随机微分方程问题. 如: 随机干扰下的控制问题 通讯技术中的滤波问题…… 要解决相关的问题,必须研究和求解随机微分方程. 定理 设二阶矩过程 均方连续，a(t)是 普通函数，X0是二阶矩变量，则一阶线性随机微分方程 有解，其解为 注意 一阶线性微分方程（1）的解X(t)仍然是S.P. 利用X(t)的表达式可以得到其数字特征.即 定理 一阶线性微分方程（1）的解的均值函数和相关函数为 也可以通过解以下一般的微分方程组得到 也可以解下列普通微分方程得到 对(1)的两边取共轭再同乘Y(t),并求期望得＊ 在(1)的两边同乘以 取期望得 举例 1. 一阶线性随机微分方程 试求 此微分方程的解,解的均值函数,相关函数以及 一维概率密度函数 解 由公式解为 2. 求解下列随机微分方程，并求其解的数字特征 其中g是常数. 解 由公式解为 六 正态过程的随机分析 正态过程是一种重要的二阶矩过程. 内容: 1.正态随机变量序列(正态过程)的均方极限 2.均方可导的正态过程性质 3.正态过程的均方不定积分性质 定理1 正态随机变量序列的均方极限仍是正态随机变量. 为正态随机变量序列，且 则X是正态随机变量． 即若 证明 所以X是正态随机变量 说明 以上定理中,若Xn为一族随机变量也成立.即 若{X(t).t∈T}为一族正态随机变量,且 则X是正态随机变量． 推论 定理2 n维正态随机向量序列的均方极限 仍是n维正态随机向量．即 为一列n维正态随机向量,m=1,2,… 即对每个 均有 是n维正态随机向量． 是n维正态随机向量． 为一族n维正态随机向量， 定理３设{X(t).t∈T}为一正态过程,若对任意的t∈T, X(t) 均方可导,则其均方导数过程 仍是正态过程，且其任意有限维特征函数是 分别是均值函数和协方差函数． 证明 因为{X(t).t∈T}为一正态过程,则对任意的 所以导数过程是正态过程. 再利用导数过程的数字特征与原过程数字特征的关系得 *