2.5.1向量在平面几何中解题的应用.ppt

解：设 则 * 一、向量有关知识复习 （1）向量共线的充要条件: 与 共线 （2）向量垂直的充要条件： （3）两向量相等充要条件： 且方向相同。 二、应用向量知识证明平面几何有关定理 例一、证明直径所对的圆周角是直角 A B C O 如图所示，已知⊙O，AB为直径，C 为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90° 分析：要证∠ACB=90°，只须证向 量 ，即 。 解：设 则 ， 由此可得： 即 ，∠ACB=90° 思考：能否用向量坐标形式证明？ 二、应用向量知识证明平面几何有关定理 例二、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和 A B D C 已知：平行四边形ABCD。 求证： 解：设 ，则 分析：因为平行四边形对边平行且相 等，故设 其它线段对应向 量用它们表示。 ∴ 三、应用向量知识证明三线共点、三点共线 例一、已知：如图AD、BE、CF是△ABC三条高 求证：AD、BE、CF交于一点 F A B C D E A B C D E H 分析： 思路一：设AD与BE交于H，只要证 CH⊥AB，即高CF与CH重合，即CF 过点H 只须证 由此可设 如何证 ？ 利用AD⊥BC，BE⊥CA，对应向量垂直。 三、应用向量知识证明三线共点、三点共线 例一、已知：如图AD、BE、CF是△ABC三条高 求证：AD、BE、CF交于一点 A B C D E H 解：设AD与BE交于H， 即高CF与CH重合，CF过点H，AD、BE、CF交于一点。 三、应用向量知识证明三线共点、三点共线 例一、已知：如图AD、BE、CF是△ABC三条高 求证：AD、BE、CF交于一点 H F A B C D E 分析：如图建立坐标系， 设A(0,a) B(b,0) C(c,0) 只要求出点H、F的坐标， 就可求出 、 的坐 标进而确定两向量共线，即三点共线。 再设H(0,m) F(x,y) 由A、B、F共线；CF⊥AB对应向量共线及垂直解得： 可得： 可得： 即 而CF、CH有公共点C，所以 C、H、F共线，即 AD、BE、CF交于一点 三、应用向量知识证明三线共点、三点共线 例二、如图已知△ABC两边AB、AC的中点分别为M、N， 在BN延长线上取点P，使NP=BN，在CM延长线上取点Q， 使MQ=CM。求证：P、A、Q三点共线 A B C N M Q P 解：设 则 由此可得 即 故有 ，且它们有 公共点A，所以P、A、Q三点共线 四、应用向量知识证明等式、求值 例一、如图ABCD是正方形M是BC的中点，将正方形折起， 使点A与M重合，设折痕为EF，若正方形面积为64， 求△AEM的面积 A B C D M N E F 四、应用向量知识证明等式、求值 例一、如图ABCD是正方形M是BC的中点，将正方形折起， 使点A与M重合，设折痕为EF，若正方形面积为64， 求△AEM的面积 A B C D M N E F 解：如图建立坐标系，设E(e,0)，由 正方形面积为64，可得边长为8 由题意可得M(8,4)，N是AM的 中点，故N(4,2) =(4,2)-(e,0)=(4-e,1) 解得：e=5 即AE=5 四、应用向量知识证明等式、求值 例二、PQ过△OAB的重心G，且OP=mOA,OQ=nOB 求证： 分析:由题意OP=mOA,OQ=nOB, 联想线段的定比分点，利 用向量坐标知识进行求解。 O A B G · P Q 由PO=mOA, QO=nOB可知： O分 的比为 ，O分 的比为 由此可设 由向量定比分点公式，可求 P、Q的坐标，而G为重心，其坐标也可求出，进而 由向量 ，得到 m n 的关系。 -m