2.5.1平面向量的数量积.ppt

* * * * * 我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s（如图） θ F S 力F所做的功W可用下式计算 W=|F| |S|cosθ 其中θ是F与S的夹角 从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的概念。 设置情境 O A θ 当θ＝0°时，a与b同向； O A B 当θ＝180°时，a与b反向； O A B B 当θ＝90°时，称a与b垂直， 记为a⊥b. O A a b B 已知两个非零向量a和b ，作OA= a ， OB= b ，则∠AOB=θ（0°≤θ ≤180°） 叫做向量a与b的夹角。 想一想：如何定义两个向量的夹角？ 已知两个非零向量 与 ，它们的 夹角为θ，我们把数量| | | |cosθ叫做 与 的数量积（或内积），记作 · · =| | | | cosθ a r a r a r a r a r a r b r b r b r b r b r b r 规定:零向量与任一向量的数量积为0。 　　　　　　　　　　　　　　 叫做向量 　在 　方向上 （或向量 在 方向上）的投影。 数量积的几何意义 向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？ · =| | | | cosθ a r a r b r b r 当θ =90°时 为零。 a r b r · 当90°＜θ ≤180°时 为负。 a r b r · 当0°≤θ ＜ 90°时 为正； a r b r · 设 是非零向量， 方向相同的 单位向量， 的夹角，则 特别地 O A B θ a b B1 利用特殊化研究向量数量积的性质（5分钟） 解：a·b = |a| |b|cosθ= 5×4×cos120° =5×4×（-1/2）= －10 例1 已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角θ=120°，求a·b。 例2 已知a=(1,1),b=(2,0),求a·b。 解： |a| =√2, |b|=2, θ=45 ° ∴ a·b=|a| |b|cosθ= √2×2×cos45 ° = 2 O A B θ a b B1 练习2： 1．若a =0，则对任一向量b ，有a · b=0． 2．若a ≠0，则对任一非零向量b ,有a · b≠0． 3．若a ≠0，a · b =0，则b=0 4．若a · b=0，则a · b中至少有一个为0． 5．若a≠0，a · b= b · c，则a=c 6．若a · b = a · c ,则b≠c,当且仅当a=0 时成立． 7．对任意向量 a 有 √ × × × × × √ 小结 已知两个非零向量 与 ，它们的 夹角为θ，我们把数量| | | |cosθ叫做 与 的数量积（或内积），记作 · · =| | | | cosθ a r a r a r a r a r a r b r b r b r b r b r b r 布置作业： 1、书面作业：课本Ｐ97习题2-5A组第1（3）,（4）,2（2）,（4）,3,4,5题 2、检查作业：步步高《40分钟课时训练》 课后反思： （1）数量积作为平面向量的核心内容，同时也是平面向量的重点，在高中数学中有着非常广泛的应用，因此在教学中应该这种培养学生的应用意识； （2）因为本节课概念、性质多，内容杂，所以要理解、掌握好本节内容，不能用一节课全部学完所有概念、性质和运算律； （3）第一节课主要探讨平面向量数量积的概念和性质及简单应用，第二节课学习数量积的运算律以及概念、性质、运算律的综合应用； （4）限于时间关系，未做练习2. *