2.5.2平面向量的数量积.ppt

* * * * * O B A θ 当θ＝0°时，a与b同向； O A B 当θ＝180°时，a与b反向； O A B B 当θ＝90°时，称a与b垂直， 记为a⊥b. O A a b 已知两个非零向量a和b ，作OA= a ， OB= b ，则∠AOB=θ（0°≤θ ≤180°） 叫做向量a与b的夹角。 温故知新 已知两个非零向量 与 ，它们的 夹角为θ，我们把数量| | | |cosθ叫做 与 的数量积（或内积），记作 · · =| | | | cosθ a r a r a r a r a r a r b r b r b r b r b r b r 规定:零向量与任一向量的数量积为0。 　　　　　　　　　　　　　　 叫做向量 　在 　方向上 （或向量 在 方向上）的投影。 数量积的几何意义 温故知新 设 是非零向量， 方向相同的 单位向量， 的夹角，则 特别地 O A B θ a b B1 温故知新 练习2： 1．若a =0，则对任一向量b ，有a · b=0． 2．若a ≠0，则对任一非零向量b ,有a · b≠0． 3．若a ≠0，a · b =0，则b=0 4．若a · b=0，则a · b中至少有一个为0． 5．若a≠0，a · b= b · c，则a=c 6．若a · b = a · c ,则b≠c,当且仅当a=0 时成立． 7．对任意向量 a 有 √ × × × × × √ 二、平面向量的数量积的运算律： 学生活动：探讨平面向量数量积满足 哪些运算律并加以证明. 其中， 是任意三个向量， 问题探究： 是否成立？ 反例思想，你能想到吗？ 则 (a + b) ·c = ON |c| = (OM + MN) |c| = OM|c| + MN|c| = a·c + b·c . O N M a+b b a c 向量a、b、a + b在c上的投影的数量分别是OM、MN、 ON, 证明运算律(3) 例 3：求证： （1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2； （2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. 证明：（1）(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b) ＝(a＋b)·a＋(a＋b)·b ＝a·a＋b·a＋a·b＋b·b ＝a2＋2a·b＋b2. 例 3：求证： （1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2； （2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. 证明：（2）(a＋b)·(a－b) ＝(a＋b)·a－(a＋b)·b ＝a·a＋b·a－a·b－b·b ＝a2－b2. 例4 的夹角为 变式１：求 变式２：当且仅当k为何值时，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　垂直? 变式１：求 例4 的夹角为 变式２：当且仅当k为何值时，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　垂直? 例4 的夹角为 课外探究：用向量方法证明：直径所对的圆周角为直角。 A B C O 如图所示，已知⊙O，AB为直径，C 为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90° 分析：要证∠ACB=90°，只须证向 量 ，即 。 解：设 则 ， 由此可得： 即 ，∠ACB=90° 小结 已知两个非零向量 与 ，它们的 夹角为θ，我们把数量| | | |cosθ叫做 与 的数量积（或内积），记作 · · =| | | | cosθ a r a r a r a r a r a r b r b r b r b r b r b r 布置作业： 1、书面作业：课本Ｐ97习题 2-5A组第6,7题和B组1,2题 2、检查作业：步步高《40分钟课时作业》 课后反思：（1）本节课重点探讨平面向量数量积的运算律，以学生探讨为主，教师只做引导；（2）交换律和数乘向量的结合律，学生容易证明，对于分配率，需要引导学生利用向量数量积的几何意义进行证明，三个常用公式可