2.5二维随机变量函数分布.ppt

2.5 两个随机变量函数的分布一、二维离散型随机变量函数的分布律 二、随机变量函数的密度函数 * * 设二维离散型随机变量（X，Y）， (X, Y)～P(X＝xi, Y＝yj)＝pij ，i, j＝1, 2, … 则 Z＝g(X, Y)～P{Z＝zk}＝ ＝pk , k＝1, 2, … g(xi,yj) pij (xi,yj) g(x1,y2) g(x1,y1) Z=g(X,Y) p12 p11 pij … … (x1,y2) (x1,y1) (X,Y) 或 例1 设二维r.v.( X,Y )的概率分布为 X Y pij -1 1 2 -1 0 求 的概率分布 解 根据( X,Y )的联合分布可得如下表格： P X +Y X -Y X Y Y / X ( X,Y ) (-1,-1) (-1,0) (1,-1) (1,0) (2,-1) (2,0) -2 -1 0 1 1 2 0 -1 2 1 3 2 1 0 -1 0 -2 0 1 0 -1 0 -1/2 0 故得 P X+Y -2 -1 0 1 2 P X - Y -1 0 1 2 3 P X Y -2 -1 0 1 P Y /X -1 -1/2 0 1 设 X ~B (n1, p), Y ~B (n2, p), 且独立， 具有可加性的两个离散分布 设 X ~ P (?1), Y ~ P (?2), 且独立， 则 X + Y ~ B ( n1+n2, p) 则 X + Y ~ P(?1+ ?2) X ~ P(?1), Y ~ P(?2), 则 Z = X + Y 的可能取值为 0,1,2, ?, Poisson分布可加性的证明 一般的方法：分布函数法 若(X, Y)~f (x, y), (x, y)?R2, Z=g(X, Y), 则可先求Z的分布函数: 然后再求出Z的密度函数: 求Z=X+Y 的分布 例2 已知 ( X, Y ) 的联合 d.f.为 2*、几个常用函数的密度函数 (1)和的分布 已知(X, Y)～f(x, y), (x, y)?R2, 求Z＝X＋Y的密度。 z x+y=z x+y? z 若X与Y相互独立，则Z＝X＋Y的密度函数 例1. 设随机变量X与Y独立且均服从标准正态分布，求证：Z=X+Y服从N（0，2）分布。 一般地，设随机变量X1, X2，..., Xn独立且Xi服从正态分布N(?i ,?i2),i=1,...,n, 则 例3.卡车装运水泥,设每袋水泥的重量X(kg)服从N(50,2.52)分布,该卡车的额定载重量为2000kg,问最多装多少袋水泥,可使卡车超载的概率不超过0.05. 解:设最多装n袋水泥,Xi为第i袋水泥的重量.则 由题意,令 查表得 三、极大(小)值的分布 设X1, X2, …, Xn相互独立，其分布函数分别为F1(x1),F2(x2), …, Fn(xn)，记 X*n ＝max{X1, X2, …, Xn }, X*1 ＝min{X1, X2, …, Xn } 则， X*n和X*1的分布函数分别为： 特别，当X1, X2, …, Xn独立同分布(分布函数相同)时，则有 * *