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例1：验证下列集合是否构成Rn的一个子空间: 例2 已知向量组 定义:设?1,? 2, …,? n是n 维线性空间V的一个基,则 对V 中任意一向量?，有且仅有一组数x1, x2, …, xn,使得 再求向量?在基?1,? 2, ? 3下的坐标 设 则有 * * * 2.5 向量空间 内积与正交矩阵 定义2.15：设V是 非空子集，且对向量的加法与乘法封闭，即： (1)对任意的α,β∈V,有α+β∈V; (2)对任意的α∈V和k ∈R,有kα∈W . 一、向量空间 首先，我们记全体实n维列向量之集合为 则称V是一个向量空间。 (1)L=[(0, a2, …, an-1, an )|ai∈R] 定义2.16：向量空间V中有向量?1,? 2, …,?n. 若 (1) ?1,? 2, …,? n 线性无关; (2)?V 中任意一向量 都可由?1,? 2, …,? n线性表示, 则称向量组?1,? 2, …,? n为V的一个基. 称 n为V的维数, 简记 n=dimV. 基---极大无关组 维数---向量组的秩 注1：向量空间的任两个基等价。 注2：与基等价的线性无关向量组都可作为基。 注3：r 维向量空间中的任何r 个线性无关的向量都可作为基。 称有序数(x1, x2, …, x n)T为?在基?1,? 2, …,? n下的坐标. ? 的坐标(x1, x2, …, x n)T由基?1,? 2, …,? n惟一确定. 证明 ?1,? 2, ? 3为 R3的基,并求向量?在该基下的坐标. 例2 已知向量组 证明 ?1,? 2, ? 3为 R3的基,并求向量?在该基下的坐标. 只需证明?1,? 2, ? 3线性无关, 则?1,? 2, ? 3就是 R3 的基. 思考： 在基 下的坐标是什么？ 自然基 *
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