2.9导数的概念及运算.ppt

* 要点梳理 1.导数的概念 设函数y=f(x)在区间(a,b)上有定义,x0∈(a,b),若 Δx无限趋近于0时,比值 = 无限趋近于一个常数A,则称f(x)在x=x0处可导，并 称该常数A为函数f(x)在x=x0处的导数,记作______. §2.9 导数的概念及运算 基础知识 自主学习 f′(x0) 2.导函数 如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内每一点都可导,就 说f(x)在开区间(a,b)内可导，其导数也是开区间 (a,b)内的函数，又称作f(x)的导函数,记作______ 或____. 3.函数f(x)在x0处的导数 函数f(x)的导函数f′(x)在x=x0处的函数值_______ 即为函数f(x)在x0处的导数. 4.导数的几何意义 (1)设函数f(x)在x0处可导,则它在该点的导数等于 函数所表示的曲线在相应点M(x0，y0)处的______ _____. f′(x) y′ f′(x0) 切线的 斜率 (2)设s=s(t)是位移函数，则s′(t0)表示物体在t=t0 时刻的________. (3)设v=v(t)是速度函数，则v′(t0)表示物体在t=t0 时刻的__________. 5.常用的导数公式 C′= __(C为常数); (xm)′= _____(m∈Q); (sin x)′=______; (cos x)′=_______; (ex)′=___; (ax)′=_______(a0且a≠1); (ln x)′= ; (logax)′= = (a0且a≠1). 0 mxm-1 -sin x cos x ex axln a 瞬时速度 瞬时加速度 6.导数的运算法则 [f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x), [Cf(x)]′=Cf′(x)(C为常数), [f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x), 7.复合函数求导的运算法则 一般地,设函数 在点x处有导数 函数y=f(u)在u处有导数 =f′(u),则复合函数 在点x处也有导数,且 =_________= __________. 基础自测 1.函数y=xcos x-sin x的导数为________. 解析 y′=(xcos x)′-(sin x)′ =x′cos x+x(cos x)′-cos x =cos x-xsin x-cos x=-xsin x. 2.若f′(x0)=2,则当k→0时, =____. 解析 -xsin x -1 3.若函数y=f(x)在R上可导且满足不等式x f′(x) -f(x)恒成立,且常数a,b满足ab，则下列不等式不 一定成立的是_______(填序号). ①af(b)bf(a) ②af(a)bf(b) ③af(a)bf(b) ④af(b)bf(a) 解析 令g(x)=xf(x),∴g′(x)=xf′(x)+f(x)0. ∴g(x)在R上为增函数, ∴g(a)g(b),即af(a)bf(b). ①③④ 4.(2009·辽宁)曲线 在点(1,-1)处的切线方 程为________. 解析 所以切线方程为y+1=-2(x-1),即y=-2x+1. y=-2x+1 【例1】利用导数的定义求函数 的导数. 先求Δy,再求 最后求 解 典型例题 深度剖析 分析 跟踪练习1 利用导数的定义,求出函数 的导 数,并据此求函数在x=1处的导数. 解 【例2】(2010·苏州月考)求下列各函数的导数 (1) (2)y=(x+1)(x+2)(x+3); (3) (4) 利用常见函数的导数及求导法则. 解 分析 (2)方法一 y=(x2+3x+2)(x+3) =x3+6x2+11x+6, ∴y′=3x2+12x+11. 方法二 y′=[(x+1)(x+2)]′(x+3)+(x+1)(x+2)(x+3)′ =[(x+1)′(x+2)+(x+1)(x+2)′](x+3)+(x+1)·(x+2) =(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2) =(2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2) =3x2+12x+11. 跟踪练习2 求下列函数的导数 (1)y=x2s