2.随机变量的分布函数、连续型.ppt

* 一、分布函数 3.3 随机变量的分布函数 离散型随机变量的分布律可以完整地描述离散型 随机变量的概率分布. 但对于非离散型随机变量,由于它可能的取值不可数,所以要用分布律来描述它是不可能的. 例如,我们要观察某种型号的电子元件的寿命, 它的值域为大于等于零的数,而不是集中在有限个或可 数无穷多个点上,因此,其概率规律不能用分布律来描述. 另外，在研究一个随机变量时,我们常常关心的并不是它取某个值的概率,而是它落在某个区间上的概率. 例如,学生考试前并不关心他恰好取得88分的概率,而是关心他将考得60分以上的概率. 一、分布函数 3.3 随机变量的分布函数 一般地,对于一个随机变量,我们关心的是X 在任意有限区间(a,b)内取值的概率. 分布函数 定义 设 X 是一个 随机变量，称 为 X 的分布函数. 或记作FX(x). 如果将 X 看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数 F(x) 的值就表示 X落在区间 的概率. 一、分布函数 ———| x 3.3 随机变量的分布函数 事件 的概率可写成 二、分布函数的性质 即F(x)是单调非减的。 即F(x)是右连续的。 例1 一次抛掷两枚均匀硬币,若以X表示出现正面的次数， 求X的分布函数. 解 由题意， X的分布律为 0 1 2 Page 30 例 3-1 当 时, 当 时, 当 时, 当 时, 0 1 2 故X的分布函数为 它是一条阶梯形曲线， 则离散型随机变量X的分布函数 设离散型随机变量X 的分布律为 例2 向区间(a,b]内任意掷一质点,设此试验是几何概型的, 求落点X坐标的分布函数. 解 由题意知 Page 30 例 3-1 当 时, 当 时, 当 时, 于是X的分布函数为 F(x)的图形是一条连续曲线 3.4 连续型随机变量 　　有些随机变量，它们的值域是一个区间或若干个区间的并，称这类随机变量为连续型随机变量。我们不能将它的取值一一列出，因而不能象研究离散型的手法一样用分布列来刻画它，那么如何描述连续型随机变量取值的统计规律性呢？ 本节我们来研究一维随机变量取值的统计规律性。为此先考虑下面的例子。 解：X的分布函数为： x y o 1 1 由此我们给出连续型随机变量的数学定义 那么称 为连续型随机变量， 定义 设F(x)是随机变量X的分布函数. 若存在一个非负函数f(x), 对任意实数x, 有 或概率密度或密度函数. 由上面的定义可得下面两个结果: (1)在整个实轴上,F(x)是连续函数; (2) 对f(x)的连续点,有 概率密度函数的性质： (3) 由(4)得 例2　已知连续型随机变量X的分布函数为： (1)求常数A； (3)求P(0.5X10)； (2)求X的概率密度f(x)； 解 （1）由于F(x)是连续函数， 所以 故 （2） 其它 （3） 例3　连续型随机变量X的密度函数为： 求 (1)系数A； (3) (2) 解 （1） 故 （2） 例3　连续型随机变量X的密度函数为： 求 (1)系数A； (3) (2) （3） 当 时, 当 时, 当 时, 故 3.5 常用的连续型随机变量 1、均匀分布 ～ 设连续型随机变量X的密度函数为 ～ 例1　随机变量 ，试求 P(cXd),这里[c，d] [a，b]。 解： 可见均匀分布的变量取值于[a，b]子区间的 概率的大小，只与子区间的长度成正比，而与子 区间的位置无关。 如果连续型随机变量X的概率密度函数 ～ 易知服从指数分布的随机变量的分布函数为 指数分布在可靠性问题中有广泛的应用。 2、指数分布 则称X服从参数为 的指数分布, 记为 例2 设连续型随机变量X的密度函数为 试确定常数a,并求P(X1) . 解 于是X的密度函数为 Page 34 例3-4 如果连续型随机变量X的密度函数为 ～ 正态分布的随机变量的密度函数具有下列性质： 正态分布在理论上与实际应用中都是一个极其重要的分布。 3、正态分布 决定了图形的中心位置， 决定了图形中峰的陡峭程度. 正态分布 的图形特点 下面介绍正态分布中十分重要的一类分布——标准 正态分布。 是偶函数, 称为标准正态分布。 证明 证明 例3 设 求 解 Page 36 例3-5 例4 设 求 解 Page 36 例3-6 *