2007年湖南省高三数学求二面角课件人教版.ppt

* * (习题课) α β l 从空间一直线出发的两个半 一、二面角的定义 二、二面角的平面角 的平面角 一个平面垂直于二面角 的棱，且与两个半平 面的交线分别是射线OA、OB,垂足为O，则∠APB叫做二面角 A B O β α l α β l 平面所组成的图形叫做二面角 1、定义 例1 如图P为二面角α–l–β内一点，PA⊥α于点A,PB⊥β于点B,且PA=5，PB=8，AB=7，求这二面角的度数。 设l与平面PAB相交于点O ∵PA⊥α, PB⊥β ∴PA⊥l , PA⊥l ∴l⊥平面PAB 连结AO、BO,则∠AOB为二面角α–l–β的平面角 又∵PA=5，PB=8，AB=7 ∴∠APB= 60o ∴∠AOB=120o ∴这二面角的度数为120o 解： β α A B P l O 小结一 一.求二面角大小的一般步骤 ①找(作)二面角的平面角 ②证明所作角为二面角的平面角 ③求二面角的平面角 找 证 求 二.依据定义求二面角的平面角 P α β l A B O 例2 如图，已知P是二面角α-AB-β棱上一点，过P分别在α、β内引射线PM、PN，且∠MPN=60o ∠BPM=∠BPN=45o ，求此二面角的度数。 β α A B P M N C D O 解： 在PB上取不同于P 的一点O， 在α内过O作OC⊥AB交PM于C， 在β内作OD⊥AB交PN于D， 连CD，可得 ∠COD是二面角α-AB-β的平面角 设PO = a ，∵∠BPM =∠BPN = 45o 又∵∠MPN=60o ∴CD=PC a ∴∠COD=90o 因此，二面角的度数为90o 小结二 三.双垂线法求二面角的平面角 A B α β l P O A B P C 取AB 的中点为E，连PE，OE ∵O为 AC 中点， ∠ABC=90o ∴OE∥BC且 OE BC 在Rt△POE中， OE ，PO ∴ ∴所求的二面角P-AB-C 的正切值为 例3 如图， Rt△ABC所在平面外一点P在面ABC上的射影是Rt△ABC斜边AC的中点O，若PB=AB=1，BC= ，求二面角P-AB-C的正切值。 ∴∠PEO为二面角P-AB-C 的平面角 在Rt△PBE中，BE ，PB=1，PE OE⊥AB ，因此 PE⊥AB E 解： E O P l P α β A B 小结三 四.三垂线法求二面角的平面角 A B C O α β 三角形ABC在面β内的射影为BCO ,三角形ABC的面积为S原，三角形BCO的面积为S射,则 射影面积公式 设θ为所求二面角的大小， S 为二面角的一个面内的平面图形的面积， S为该平面图形在另一个面内的射影所组成的平面图形的面积，则 如图,已知二面角 ,设它的大小为 l A B C D A1 C1 D1 E B1 M 例4 如图，设E为正方体的边CC1的中点，求平面AB1E和底面A1B1C1D1所成角的余弦值。 G △AB1E在底面A1B1C1D1上的射影为△A1B1C1，故这两个平面所成二面角的余弦值为 F 小结四 五.射影法求二面角的平面角 设θ为所求二面角的大小， S原 为二面角的一个面内的平面图形的面积， S射为该平面图形在另一个面内的射影所组成的平面图形的面积，则 如图（2），设二面角 的大小为 利用向量法求二面角的平面角 ①方向向量法 将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱的有向线段表示的向量）的夹角。 D C l B A 则二面角 的大小 将二面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角。 注意法向量的方向：同进同出，二面角等于法向量夹角的补角；一进一出，二面角等于法向量夹角 l ②法向量法 如图，向量 例5 如图, PA⊥平面ABC， 求二面角 的大小 P A B C A B C D A1 C1 D1 B1 E 例6 如图，在长方体AC1中, 点E在棱AB上移动 AD=AA1=1,AB=2, AE等于何值时，二面角　　　　　的大小为 1、如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上任一点，则二面角P-BC-A的平面角为: A.∠ABP B.∠ACP C.都不是 练 习 2、已知P为二面角 内一点，且P到两个半平面的距离都等于P到棱的距离的一半，则这个二面角的度数是多少？ A B C P 60o V A B C 3.空间四边形VABC的各边及对角线均相等，求二面角 的大小 4.如图，空间三条直线PA 、PB 、PC， ∠APC=