2009级空间直角坐标系、矢量、向量数量积、向量积.ppt

一、空间直角坐标系 在直角坐标系下 二、向量的概念 三、向量的线性运算 2. 向量的减法 3. 向量与数的乘法 4. 向量的坐标表示 四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影 例2. 在 z 轴上求与两点 2. 方向角与方向余弦 例3. 已知两点 例4. 设点 A 位于第一卦限, 一、两向量的数量积 3. 运算律 4. 数量积的坐标表示 例1. 已知三点 1. 定义 2. 性质 4. 向量积的坐标表示式 向量积的行列式计算法 例3. 已知三点 三、向量的混合积 2. 混合积的坐标表示 3. 性质 例4. 证明四点 内容小结 混合积: 思考与练习 2. 证明三角形余弦定理 为非零向量, 则 ∥ ∥ 3. 运算律 (2) 分配律 (3) 结合律 证明: 设 则 角形 ABC 的面积 解: 如图所示, 求三 1. 定义 已知三向量 称数量 混合积 . 几何意义 为棱作平行六面体, 底面积 高 故平行六面体体积为 则其 设 (1) 三个非零向量 共面的充要条件是 (2) 轮换对称性 : 共面 . 提示: 因 故 A , B , C , D 四点共面 . 设 1. 向量运算 加减: 数乘: 点积: 叉积: 2. 向量关系: 1. 设 计算 并求 夹角? 的正弦与余弦 . 答案: 证: 则 如图 . 设 L.P204~P206 2000年考题 * * * 空间解析几何与矢量代数 一、空间直角坐标系 二、向量的概念 三、向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影 四、利用坐标作向量的线性运算 Ⅶ Ⅱ Ⅲ Ⅵ Ⅴ Ⅷ Ⅳ 由三条互相垂直的数轴按右手规则 组成一个空间直角坐标系. 坐标原点 坐标轴 x轴(横轴) y轴(纵轴) z 轴(竖轴) 过空间一定点 o , 坐标面 卦限(八个) zox面 1. 空间直角坐标系的基本概念 Ⅰ 向径 坐标轴上的点 P, Q , R ; 坐标面上的点 A , B , C 点 M 特殊点的坐标 : 有序数组 (称为点 M 的坐标) 原点 O(0,0,0) ; 坐标轴 : 坐标面 : z y . x 0 M点的对称点 关于xoy面: (x,y,z)? (x,y,-z) 关于x轴: (x,y,z)? (x,-y,-z) Q 关于原点: (x,y,z)? (-x,-y,-z) P (x,y,-z) (x,-y,-z) (-x,-y,-z) M(x,y,z) R 表示法: 向量的模 : 向量的大小, 向量: (矢量). 既有大小, 又有方向的量称为向量 向径 (矢径): 自由向量: 与起点无关的向量. 起点为原点的向量. 单位向量: 模为 1 的向量, 零向量: 模为 0 的向量, 有向线段 M1 M2 , 或 a , 规定: 零向量与任何向量平行 ; 若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等, 记作 a＝b ; 若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行, a∥b ; 与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量, 记作 因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称 两向量共线 . 若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 . 记作－a ; 1. 向量的加法 三角形法则: 平行四边形法则: 运算规律 : 交换律 结合律 三角形法则可推广到多个向量相加 . 三角不等式 ? 是一个数 , 规定 : 可见 ? 与 a 的乘积是一个新向量, 记作 总之: 运算律 : 结合律 分配律 因此 例1. 设 M 为 解: ABCD 对角线的交点, 定理1. 设 a 为非零向量 , 则 (? 为唯一实数) a∥b 在空间直角坐标系下, 设点 M 则 沿三个坐标轴方向的分向量. 的坐标为 此式称为向量 r 的坐标分解式 , 任意向量 r 可用向径 OM 表示. 设 则 平行向量对应坐标成比例: 1. 向量的模与两点间的距离公式 则有 由勾股定理得 因 得两点间的距离公式: 对两点 与 等距 解: 设该点为 解得 故所求点为 及 思考: 如何求在 xoy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程? 离的点 . 提示: 设动点为 利用 得 且 设有两非零向量 任取空间一点 O , 称 ? =∠AOB (0≤ ?≤ ? ) 为向量 的夹角. 类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 . 与三坐标轴的夹角? , ? , ? 为其方向角. 方向角的余弦称为其方向余弦. 记作 方向余弦的性质: 和 的模 、方向余弦和方向角 . 解: 计算向量 解: 已知 角依次为 求点 A 的坐标 . 则 因点 A 在第一卦限 , 故 于是 故点 A 的坐标为 向径 OA 与 x 轴 y