2011.7.8绝对值三角不等式及其应用.ppt

绝对值不等式 绝对值三角不等式 绝对值三角不等式的应用 * * 关于绝对值还有什么性质呢? 表示数轴上坐标为a的点A到原点O的距离. 证明:10 .当ab≥0时, 20. 当ab0时, 综合10,20知定理成立. 定理2 如果a、b、c是实数, --------那么|a-c|≤|a-b|+|b-c| -------当且仅当(a-b)(b-c) ≥0时,等号成立. 定理3 如果a、b是实数, --------那么||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b| 当且仅当ab ≤0时, 等号成立. 当且仅当ab ≥0时, 等号成立. 将定理中的实数a、b换成向量(或复数)仍成立 证: 证明： |2x+3y-2a-3b|=|(2x-2a)+(3y-3b)| =|2(x-a)+3(y-b)|≤|2(x-a)|+|3(y-b)| =2|x-a|+3|y-b|2ε +3ε=5ε. 所以 |2x+3y-2a-3b|5ε. 例2 两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工，这两个地点分别位于公路路碑的第10km和第20km处。现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区，每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次。要使两个施工队每天往返的路程之和最小，生活区应该建于何处？ 分析：假设生活区建在公路路碑的第xkm处，两个施工队每天往返的路程之和为S(x)km，则有 S(x)=2(|x-10|+|x-20|)，要求问题化归为求该函数的最小值，可用绝对值三角不等式求解。 已知二次函数f(x)=x2+ax+b(a，b∈R）的 定义域为［-1，1］，且|f(x)|的最大值为M. (1)证明： |1+b|≤M; (2)当 时，试求出f（x）的解析式. 由|f(x)|在［-1，1］上的最大值为M 建立不等式M≥|f（1）|，M≥|f（0）|，M≥ |f（-1）|是解决问题的关键. （1）证明 ∵M≥|f（-1）|=|1-a+b|， M≥|f（1）|=|1+a+b|， 2M≥|1-a+b|+|1+a+b| ≥|（1-a+b）+（1+a+b）|=2|1+b|， ∴M≥|1+b|. （2）证明 依题意，M≥|f（-1）|， M≥|f（0）|，M≥|f（1）|， 又f（-1）=|1-a+b|， |f（1）|=|1+a+b|，|f（0）|=|b|， ∴4M≥|f（-1）|+2|f（0）|+|f（1）| =|1-a+b|+2|b|+|1+a+b| ≥|（1-a+b）-2b+（1+a+b）|=2， （3）解 ① ② ③ ④ 证明含有绝对值的不等式，其思路有 两种：（1）恰当运用|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b| 进行放缩，并注意不等号的传递性及等号成立的条 件；（2）把含有绝对值的不等式等价转化为不含 绝对值的不等式，再利用比较法、综合法及分析法 进行证明. 例4 设f(x)=ax2+bx+c，当|x|≤1时，总有 |f(x)|≤1,求证：|f（2）|≤8. 证明 方法一 ∵当|x|≤1时,|f（x）|≤1， ∴|f（0）|≤1，即|c|≤1. 又|f（1）|≤1，|f（-1）|≤1， ∴|a+b+c|≤1，|a-b+c|≤1. 又∵|a+b+c|+|a-b+c|+2|c| ≥|a+b+c+a-b+c-2c|=|2a|， 且|a+b+c|+|a-b+c|+2|c|≤4， ∴|a|≤2.