2011《金版新学案》高三数学一轮复习5-3平面向量的数量积课件(文)全国.重庆专版.ppt

常见的向量夹角θ的三种形式： 2．平面向量的数量积 (1)数量积的定义 已知两个 向量a与b，我们把数量 叫做a与b的数量积(或内积)，记作 ，即 . 其中θ是a与b的夹角， 叫做向量a在b方向上的投影． 规定：零向量与任何向量的数量积为 . (2)数量积的几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的 的乘积． 3．平面向量数量积的性质 设a，b是两个非零向量，e是单位向量，则有： (1)e·a＝ (θ为a，e的夹角)． (2)a⊥b? . (3)当a与b同向时，a·b＝ ； 当a与b反向时，a·b＝ ， 特别地，a·a＝a2＝|a|2. (4)|a·b|≤ . (5)cos θ＝ . 4．平面向量数量积的运算律 (1)a·b＝ . (2)(λa)·b＝ ＝ (λ∈R)． (3)(a＋b)·c＝ . 向量的数量积不满足结合律：一般地，(a·b)c≠a(b·c)． 同样，由a·b＝b·c不能得出a＝c，由a·b＝0不能推出a＝0，或b＝0. 5．数量积的坐标表示 (1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝ . 6．平面向量应用举例 (1)平面几何经常涉及距离(线段长度)、夹角问题，而平面向量的运算，特别是数量积主要涉及向量的模以及向量之间的夹角，因此可以用向量方法解决部分几何问题． (2)物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解、合成与向量的加减法相似，故可以用向量的知识来解决某些物理问题． (3)平面向量作为一种重要的数学工具，经常与函数、不等式、三角函数、解三角形、解析几何等知识相结合进行考查． 1．(2009年全国卷Ⅰ)设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则a，b＝ (　　) A．150°　　　　　　　 B．120° C．60° D．30° 【解析】　∵a＋b＝c，∴|c|2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2. 又|a|＝|b|＝|c|，∴2a·b＝－b2， 即2|a||b|cosa，b＝－|b|2. ∴cosa，b＝－ ，∴a，b＝120°. 【答案】　B 2．已知a＝(1，－3)，b＝(4,6)，c＝(2,3)，则a·(b·c)等于 (　　) A．(26，－78) B．(－28，－42) C．－52 D．－78 【解析】　a·(b·c)＝(1，－3)×(4×2＋6×3)＝(26，－78)． 【答案】　A 已知等边三角形ABC的边长为1，求： 【思路点拨】　利用向量数量积的定义、运算律及模的求法求解，注意两向量夹角的定义． 1．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61. (1)求a与b的夹角θ； (2)求|a＋b|； (2009年江苏卷)设向量a＝(4cos α，sin α)， b＝(sin β，4cos β)，c＝(cos β，－4sin β)． (1)若a与b－2c垂直，求tan(α＋β)的值； (2)求|b＋c|的最大值； (3)若tan αtan β＝16，求证：a∥b. 【解析】　(1)因为a与b－2c垂直，所以a·(b－2c) ＝4cos αsin β－8cos αcos β＋4sin αcos β＋8sin αsin β ＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，因此tan(α＋β)＝2. 与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型．解答此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、向量模、夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换的相关知识． 平面向量的数量积是高考重点考查的内容，直接考查的是数量积的概念、运算律、性质，向量的平行、垂直，向量的夹角与距离等，主要以选择题、填空题的形式出现，但有时也以解答题的形式出现，应高度重视．而间接考查的主要是平面向量在函数、解析几何、三角函数中的应用，在这样的综合问题中，平面向量主要起着叙述条件和迷惑视线的作用，考查向量本身的知识还是与直接考查的要求一样． 【解析】　设c＝(x，y)，则c＋a＝(x＋1，y＋2)， 又(c＋a)∥b，∴2(y＋2)＋3(x＋1)＝0.① 又c⊥(a＋b)，∴(x，y)·(3，－1)＝3x－y＝0.② 【答案】　D 2．(2009年湖南卷)已知向量a＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b＝(1,2)． (1)若a∥b，求tan θ的值； (2)若|a|＝|b|,0＜θ＜π，求θ的值． * 苍南县求知中学 洪辉真 整理 第三节　平面向量的数量积 非零 0 [0，π] π 90° a⊥b 非零 |a||b|cos θ a·b a·b＝|a||b|cos θ |a