2011年4-2平面向量的基本定理及坐标表示.ppt

(理解平面向量的基本定理及其意义/会用平面向量基本定理解决简单问题/掌握平面向量的正交分解及其坐标表示/会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算/理解用坐标表示的平面向量共线的条件) 1．共线向量的条件 如果向量a为非零向量，那么向量b与向量a共线?有且只有一个实数λ， 使得b＝λa. 2．平面向量的基本定理 如果e1，e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数λ1，λ2使：a＝λ1e1＋λ2e2.其中不共线的向量e1，e2 叫做表示这一平面内所有向量的 ． 3．平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底．由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量a可表示成a＝xi＋yj，由于a与数对(x，y)是一一对应的，因此把(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫作a在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标． (1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量． (2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关， 只与其相对位置有关． 4．平面向量的坐标运算 (1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2) (2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ＝(x2－x1，y2－y1) (3)若a＝(x，y)，则λa＝(λx, λy) (4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b?x1y2－x2y1＝0. 1．若AB＝(2,4)，AC＝(1,3)，则BC＝(　　) A．(1,1) B．(－1，－1) C．(3,7) D．(－3，－7) 解析：BC＝AC－AB＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)． 答案：B 2．已知两点A(4,1)，B(7，－3)，则与AB同向的单位向量是(　　) A. B. C. D. 解析：∵A(4,1)，B(7，－3)，AB＝(3，－4)， ∴与AB同向的单位向量为 答案：A 3．(2009·重庆高考)已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)，若a＋b与4b－2a平行，则实数x的值是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．－2 B．0 C．1 D．2 解析：∵a＋b＝(3，x＋1),4b－2a＝(6,4x－2)， ∴3(4x－2)－6(x＋1)＝0，解得x＝2. 答案：D 4．如右图，平面内有三个向量OA、OB、OC，其中OA与OB的夹角为120°，OA与OC的夹角为30°，且|OA|＝|OB|＝1，|OC|＝2，若OC＝λOA＋μOB(λ、μ∈R)，则λ＋μ的值为__________． 解析：如右图，OC＝OD＋OE＝λOA＋μOB 在△OCD中，∠COD＝30°，∠OCD＝∠COB＝90°，可求|OD|＝4， 同理可求|OE|＝2，∴λ＝4，μ＝2，λ＋μ＝6. 答案：6 利用平面向量基本定理表示向量时，要选择一组恰当的基底来表示其他向量，即用特殊向量表示一般向量． 【例1】 如右图，在△ABC中，M是BC的中点，N在边AC上， 且AN＝2NC，AM与BN相交于P点，求AP∶PM的值． 解答： 设CA＝a，CB＝b， AP＝AB＋BP＝AB＋λBN＝AB＋λ(BC＋CN) ＝b－a＋λ(－b＋ a)＝( －1)a＋(1－λ)b， MP＝MB＋BP＝MB＋λBN＝ b＋λ(－b＋ a)＝ a＋( －λ)b， 由AP∥MP，解得：λ＝ ，∴AP＝ ＝4PM. 即AP∶PM＝4∶1. 变式1.如右图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于 不同的两点M、N，若AB＝mAM，AC＝nAN，则m＋n的值为____________． 解析：设AB＝a，AC＝b，MO＝AO－AM＝ 同理NO＝ 由MO∥NO得MO＝λNO，即 ①×②整理得m＋n＝2. 答案：2 利用向量的坐标运算解题，主要就是根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解．在将向量用坐标表示时，要分清向量的起点和终点坐标，也就是要注意向量的方向，不要写错坐标． 【例2】已知点A(－1,2)，B(2,8)以及AC＝ AB，DA＝－ BA， 求点C、D的坐标和CD的坐标． 解答：设点C、D的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，由题意得 AC＝(x