2011年7-7空间向量的坐标运算.ppt

了解空间向量的基本定理/理解空间向量坐标的概念/掌握空间向量的坐标运算/掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式/掌握空间两点间的距离公式 1．空间向量的直角坐标运算律 (1)若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)； a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)； λa＝(λa1，λa2，λa3)(λ∈R)；a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3； a∥b?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；a⊥b?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0. (2)若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)． 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的 的坐 标减去 的坐标． 2．模长公式：若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)则|a|＝ 3．夹角公式：cos〈a，b〉＝ 4．两点间的距离公式 若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则 ＝ 或d(A，B)＝ . 5．如果表示向量a的有向线段所在直线垂直于平面α，记作a⊥α，此时向量 a叫做平面α的 ． 1．已知点A(－3,1，－4)，则点A关于原点的对称点坐标为(　　) A．(1，－3，－4) B．(－4,1，－3) C．(3，－1,4) D．(4，－1,3) 解析：设A点关于原点的对称点坐标为(x，y，z)，则 ， ∴x＝3，y＝－1，z＝4. 答案：C 2．已知向量a＝(2，－3,5)，b＝(3，λ， )，且a∥b，则λ等于(　　) 解析：∵a∥b，则b＝xa，∴ ，解得λ＝－ . 答案：C 3．已知A(1，－2,3), B(4，－4，－3), C(2,4,3)，D(8,6,6)，则向量 在向量 方向上的射影A′B′＝________. 解析： ＝(4－1，－4＋2，－3－3)＝(3，－2，－6)， ＝(8－2,6－4,6－3) ＝(6,2,3)，而CD方向上的单位向量是 ∴A′B′＝ ·e＝(3，－2，－6)· . 答案： 4．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量．在平面直角坐标 系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A(2,1)且法向量为n＝ (－1,2)的直线(点法式)方程为－(x－2)＋2(y－1)＝0，化简后得x－2y＝0.类 比以上求法，在空间直角坐标系中，经过点A(2,1,3)，且法向量n＝(－1,2,1) 的平面(点法式)方程为________．(请写出化简后的结果) 答案：x－2y－z＋3＝0 空间向量的坐标运算类似于平面向量的坐标运算，利用空间向量基本定理可将证明四点共面及直线与平面平行等问题转化为解方程组． 【例1】 证明四点A(1,0,1)，B(4,4,6)，C(2,2,3)，D(10,14,17)在同一平面内． 变式1. 若a＝(1,0,0)，b＝(1,1,0)，c＝(1,1,1) (1)试证a，b，c不共面；(2)试用a，b，c表示d＝(5,3,6)． 解答：(1)证明：假设a，b，c共面，由a，b不共线知c＝λa＋μb， 即(1,1,1)＝λ(1,0,0)＋μ(1,1,0)． ∴ 此为矛盾，∴a，b，c不共面． (2)设d＝