2011年《创新设计》10-8.ppt

(理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题) 1．数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为 则称Eξ＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋…为ξ的数学期望，简称期望． 2．方差： 对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是x1，x2，…， xn，…，且取这些值的概率分别是p1，p2，…，pn，…，那么，Dξ＝(x1－ Eξ)2·p1＋(x2－Eξ)2·p2＋…＋(xn－Eξ)2·pn＋…称为随机变量ξ的均方 差，简称为方差，式中的Eξ是随机变量ξ的期望． 3．期望的性质：E(aξ＋b)＝aEξ＋b. 4．方差的性质：(1)D(aξ＋b)＝a2Dξ；(2)Dξ＝Eξ2－(Eξ)2. 1．设随机变量ξ的取值为1,2,3,4.P(ξ＝k)＝ak＋b(k＝1,2,3,4)， 又ξ的数学期望Eξ＝3，则a＋b＝________. 答案： 2．某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%；一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200例类似项目开发的实施结果： 则该公司一年后估计可获收益的期望是________元． 答案：4 760 3．已知 ξ服从二项分布，即ξ～B(100， )，则E(2ξ＋3)＝________. 解析：由已知Eξ＝100× ＝50，∴E(2ξ＋3)＝2Eξ＋3＝103. 答案：103 4．(长沙市一中高三月考)某计算机程序每运行一次都随机出现一个二进制的6位数N＝　 ，其中N的各位数字中，n1＝n6＝1，nk(k＝2,3,4,5)出现0的概率为 ，出现1的概率为 ，记ξ＝n1＋n2＋…＋n6，问 ξ＝4时的概率为________，ξ的数学期望是________． 解析：P(ξ＝4)＝ ，ξ的数学期望是 2P(ξ＝2)＋3P(ξ＝3)＋4P(ξ＝4)＋5P(ξ＝5)＋6P(ξ＝6)＝ . 答案：　 1. 求离散型随机变量的期望关键是写出离散型随机变量的分布列 然后利用公式计算． 2．由ξ的期望方差求aξ＋b的期望方差是常考题之一，常见根据 期望和方差的性质求解． 【例1】 A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是 A1、A2、A3， B队队员是B1、B2、B3，按以往多次比赛的统计， 对阵队员之间的胜负概率如下： 解答：(1)ξ，η的可能取值分别为3,2,1,0. P(ξ＝3)＝ ，P(ξ＝2)＝ P(ξ＝1)＝ ，P(ξ＝0)＝ 根据题意ξ＋η＝3，所以 P(η＝0)＝P(ξ＝3)＝ ，P(η＝1)＝P(ξ＝2)＝ ， P(η＝2)＝P(ξ＝1)＝ ，P(η＝3)＝P(ξ＝0)＝ . (2)Eξ＝ ； 因为ξ＋η＝3，所以Eη＝3－Eξ＝ . 变式1.甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6.本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束．设各局比赛相互间没有影响．令ξ为本场比赛的局数，求ξ的概率分布和数学期望．(精确到0.000 1) 解答：由已知随机变量ξ的取值为3,4,5， P(ξ＝3)＝0.63＋0.43＝0.28； P(ξ＝4)＝ ×0.62×0.4×0.6＋ ×0.42×0.6×0.4＝0.374 4； P(ξ＝5)＝ ×0.62×0.42×0.6＋ ×0.42×0.62×0.4＝0.345 6. 因此ξ的概率分布列为： ξ的期望Eξ＝3×0.28＋4×0.374 4＋5×0.345 6＝4.065 6. 二项分布的期望和方差除了根据定义去求，可利用公式求解．若ξ～B(n，p)，则Eξ＝np，Dξ＝np(1－p)． 【例2】某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层停靠．若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为 ，用 ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，求： (1)随机变量ξ的分布列；(2)随机变量ξ的期望． 解答：解法一：(1)ξ的所有可能值为0,1,2,3,4,5. 由等可能性事件的概率公式得 P(ξ＝0)＝ ，P(ξ＝1)＝ P(ξ＝2)＝ ，P(ξ＝3)＝ P(ξ