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迴歸分析 在迴歸分析中，使用依據獨立變數X 來估計相依變數 Y。 兩變數間線性（直線）關係 兩變數必須至少為區間尺度。 使用最小平方法計算。 亦即 (Y – Y)2 的值會最小。 13-* 迴歸分析 迴歸方程式為 其中 讀成 Y hat，是在選取一個 X 值下 Y 的預測值。 a 是Y 的截距。它是當 X = 0 時，Y 的估計值。換句話說，a 是當X為0時，迴歸直線與 Y 軸相關的 Y 估計值。 b是迴歸線的斜率，或是當每一個獨立變數變動一個單位時，Y 的平均變動量。 X 是所選取的任何一個獨立變數的值。 13-* 迴歸分析 因此迴歸方程式中 a 與 b 值被稱為估計迴歸係數，或是迴歸係數。 係數的計算公式如下所示： 13-* 範例 承美國影印銷售公司的範例。Bancer 經理蒐集了 10 位業務員撥打電話數量與影印機銷售量的樣本資料，她想要在業務會議中，提出關於撥打電話數量與影印機銷售量間關係的特殊資訊。使用最小平方法來找出這兩個變數間的線性方程式，如果一個業務員撥打 20 通業務電話，請問期望的影印機銷售量是多少？ 13-* 範例 continued 第一步是求出最小平方迴歸線的斜率，也就是 b 值。獨立變數 X 的標準差為9.189 ，相依變數 Y 的標準差為 14.337 ，所以 13-* 範例 continued 因此，迴歸方程式是 如果業務員撥打了 20 通電話，即表示期望銷售的影印機數量為 42.6316 台 13-* 範例 continued b 值是 1.1842，表示業務員每多打 1 通電話，就可以多賣出約 1.2 台影印機。換句話說，如果業務員一個月內多打 5 通業務電話，將可以多賣出約 6 台影印機，由 1.1842 ? 5 = 5.921而得。 a 值是 18.9476，代表方程式與 Y 軸相交的點，意思是：如果在業務員沒有撥打任何一通電話的情況下，也就是 X = 0，則可賣出18.9476 台影印機。 13-* 範例 continued 繪製迴歸線 可以在散布圖上繪製最小平方方程式 的圖形。樣本的第一個業務員是 Tom Keller，打了 20 通電話，影印機銷售量的預測值是 由此可得點 X = 20，Y = 42.6316 的位置，先在 X 軸上移動 20 個單位，再垂直移動至 Y 軸座標 42.6316 上即可。以此類推，將樣本中不同 X 值代入迴歸方程式，求出其點的座標。 13-* 範例 continued 將樣本中不同 X 值代入迴歸方程式，求出其點的座標。 13-* 範例 continued 圖 13-11 在散布圖上繪製迴歸線 13-* 標準誤的估計 估計的標準誤（standard error of estimate）：測量觀察資料與迴歸線之間散布或是離散的程度。 13-* 標準誤的估計 計算估計標準誤的公式為： 13-* 範例 承美國影印銷售公司範例。業務經理計算的最小平方迴歸方程式是 其中 表示影印機銷售量的預測值，X表示撥打電話的數量。請計算估計的標準誤判斷觀測資料是否配適迴歸線。 13-* 範例 continued 表 13-4　計算估計的標準誤的過程 13-* 範例 continued 使用公式 [13-6] 所計算的估計標準誤是9.901。 13-* 範例 continued 圖 13-13 10 位業務員的業務電話通數與影印機銷售量 13-* Excel example 13-* 迴歸直線下的假設 每個 X 值都會有對應的 Y 值，且這些 Y 值服從常態分配。 這些常態分配的平均數落在迴歸線上。 這些常態分配的標準差都相同。標準差的最佳估計量是估計標準誤。 Y 值間相互獨立，亦即選取一特定 X 值作為樣本時與其他 X 的值不相關。 13-* 迴歸直線下的假設 圖 13-14 以圖形表示迴歸假設 13-* 信賴區間 對於在特定 X 下之平均值 Y 的信賴區間為： 13-* 估計標準誤 預測區間 對於在特定 X 下之平均值 Y 的預測區間為： 13-* 範例 延續美國影印銷售公司的範例。請計算所有撥打 25 通電話的業務員，其影印機銷售量之 95% 的信賴區間；以及某一位撥打 25 通電話的西岸業務員 Sheila Baker 之 95% 預測區間。 13-* 範例 continued 表 13-5 計算信賴區間與預測區間所需的過程 13-* 範例 continued 第一個步驟是計算撥打 25 通電話之業務員的期望銷售量： = 18.9476 + 1.1842X =