2011数学建模马氏链模型.ppt

第十一章 马氏链模型 11.1 健康与疾病 11.2 钢琴销售的存贮策略 马氏链模型 系统在每个时期所处的状态是随机的 从一时期到下时期的状态按一定概率转移 下时期状态只取决于本时期状态和转移概率 已知现在，将来与过去无关（无后效性） 描述一类重要的随机动态系统（过程）的模型 马氏链 (Markov Chain) ——时间、状态均为离散的随机转移过程 通过有实际背景的例子介绍马氏链的基本概念和性质 例1. 人的健康状况分为健康和疾病两种状态，设对特定年龄段的人，今年健康、明年保持健康状态的概率为0.8, 而今年患病、明年转为健康状态的概率为0.7， 11.1 健康与疾病 人的健康状态随着时间的推移会随机地发生转变 保险公司要对投保人未来的健康状态作出估计, 以制订保险金和理赔金的数额 若某人投保时健康, 问10年后他仍处于健康状态的概率 Xn+1只取决于Xn和pij, 与Xn-1, …无关 状态与状态转移 状态转移具有无后效性 1 2 0.8 0.2 0.3 0.7 n 0 a2(n) 0 a1(n) 1 设投保时健康 给定a(0), 预测 a(n), n=1,2… 设投保时疾病 a2(n) 1 a1(n) 0 n??时状态概率趋于稳定值，稳定值与初始状态无关 3 … 0.778 … 0.222 … ∞ 7/9 2/9 0.7 0.77 0.777 … 0.3 0.33 0.333 … 7/9 2/9 状态与状态转移 1 2 0.8 0.2 0.3 0.7 1 0.8 0.2 2 0.78 0.22 1 2 3 0.1 0.02 1 0.8 0.25 0.18 0.65 例2. 健康和疾病状态同上，Xn=1~ 健康, Xn=2~ 疾病 p11=0.8, p12=0.18, p13=0.02 死亡为第3种状态，记Xn=3 健康与疾病 p21=0.65, p22=0.25, p23=0.1 p31=0, p32=0, p33=1 n 0 1 2 3 ? a2(n) 0 0.18 0.189 0.1835 ? a3(n) 0 0.02 0.054 0.0880 ? a1(n) 1 0.8 0.757 0.7285 ? 设投保时处于健康状态，预测 a(n), n=1,2… 不论初始状态如何，最终都要转到状态3 ； 一旦a1(k)= a2(k)=0, a3(k)=1, 则对于nk, a1(n)=0， a2(n)=0, a3(n)=1, 即从状态3不会转移到其它状态。 状态与状态转移 0 0 1 ? 50 ? 0.1293 ? 0.0326 ? 0.8381 ? 马氏链的基本方程 基本方程 马氏链的两个重要类型 1. 正则链 ~ 从任一状态出发经有限次转移能以正概率到达另外任一状态（如例1）。 w ~ 稳态概率 马氏链的两个重要类型 2. 吸收链 ~ 存在吸收状态（一旦到达就不会离开的状态i, pii=1）,且从任一非吸收状态出发经有限次转移能以正概率到达吸收状态（如例2）。 有r个吸收状态的吸收链的转移概率阵标准形式 R有非零元素 yi ~ 从第 i 个非吸收状态出发，被某个吸收状态吸收前的平均转移次数。 11.2 钢琴销售的存贮策略 钢琴销售量很小，商店的库存量不大以免积压资金 一家商店根据经验估计，平均每周的钢琴需求为1架 存贮策略：每周末检查库存量，仅当库存量为零时，才订购3架供下周销售；否则，不订购。 估计在这种策略下失去销售机会的可能性有多大，以及每周的平均销售量是多少。 背景与问题 问题分析 顾客的到来相互独立，需求量近似服从波松分布，其参数由需求均值为每周1架确定，由此计算需求概率 存贮策略是周末库存量为零时订购3架 ?周末的库存量可能是0, 1, 2, 3，周初的库存量可能是1, 2, 3。 用马氏链描述不同需求导致的周初库存状态的变化。 动态过程中每周销售量不同，失去销售机会（需求超过库存）的概率不同。 可按稳态情况（时间充分长以后）计算失去销售机会的概率和每周的平均销售量。 模型假设 钢琴每周需求量服从波松分布，均值为每周1架 存贮策略：当周