2012GCT入学资格考试(线代、几何、初代、算术).ppt

第五部分 线性代数 第一节 行列式 [考试要求] 行列式，行列式的概念和性质，行列式按行展开定理，行列式的计算 [内容综述] 一、行列式及有关概念 1、定义： 特征：方形数阵，两边加上 ；或行列式是对 个数所作特定运算的记 号，结果是一个数。 元素 aij 的代数余子式： 元素 aij 的余子式： ，去掉 aij 所在的 i 行，j 列剩下的元素按原来的次序 组成的n-1阶行列式 主对角线：（行列式中从左上角到右下角的对角线） 2、特殊行列式 上、下三角行列式，行列式 D 的转置行列式 DT （由D的行换成列，列换成行所得， DT 与 D 成对出现）。 注意：对角与上、下三角行列式值是主对角线元素乘积。 二、行列式的性质 1、行列互换，行列式的值不变，即 D = DT ； 2、两行（或两列）互换，行列式的值变号； 3、某一行（或某一列）的公因子，可提到行列式之外； 4、按某一行（或某一列）拆开，原行列式是两个特定行列式之和； 5、一行（或一列）的倍数加到另一行（或另一列），行列式的值不变； 6、行列式等于其任一行（或一列）的元素乘以该行（或列）元素的相应的代数余子式的和；即 7、行列式中某一行（或某一列）元素与另一行（或列）对应元素的代数余子式之和为零 8、行列式有零行（或列），行列式的值为零。反之如何？ 9、两行（或两列）对应元素相等（或成比例)，行列式的值为零。反之如何？ 三、行列式的计算 [总体思路：根据行列式特点，运用性质将行列式恒等变形，化成上（下）三角或某行（或列）除一个元素外其余均为零。] 1、用定义公式； 2、按行（或列）展开：用性质6； 3、先做变换：初等变换、逐行相加减、拆项、递推关系等； 4、重要关系式： （A，B分别为m，n阶矩阵） 例1 计算D= 例2 证明 = 例3 a,b为何值时，三阶行列式 例4 设A为n阶矩阵，且︱A︱=0，则矩阵A中[ ] （A）必有一行元素全为零； （B）必有两行元素对应成比例； （C）必有一行向量是其余行向量的线性组合； （D）任意行向量必是其余行向量的线性组合。 第二节 矩阵 [考试要求] 矩阵的概念，矩阵的运算，逆矩阵，矩阵的初等变换。 [内容综述] 一、矩阵的概念（本质上是数表） m×n 矩阵、零矩阵、同型阵、矩阵相等、对角阵、数量阵、单位阵、三角阵、(转置矩阵、对称阵、反对称阵)。 二、矩阵的运算 1、加法（注意同型矩阵才可相加）； 2、数乘（注意每一元素都乘该数）； 3、乘法（注意左矩阵列数等于右矩阵行数）； 4、转置 ①定义: A的行换成相应的列所得矩阵, 称为A的转置, 记为AT； ②性质： 5、方阵的行列式 三、逆矩阵 1、定义：A为n阶方阵，若有n阶方阵B，使得 ，则称A可逆。A的逆记为A-1。即 可逆矩阵也称为非奇异矩阵，非退化矩阵。 2、方阵A可逆的充要条件：A可逆 ； 3、伴随矩阵： 4、逆矩阵的性质： 5、逆矩阵的求法： ①利用伴随矩阵； ②利用定义； ③利用性质；④初等行变换 四、初等行变换 1、定义 2、初等行变换求逆矩阵 五、矩阵的秩 1、定义 2、计算 3、相关结论 例1 设 ， ， 且︱A︱=2， ︱B︱=3，求︱BC︱ 例2 设A是m×n 矩阵，B是n×m矩阵，则[ ] （A）当m＞n时，必有行列式︱AB︱=0； （B）当m＞n时，必有行列式︱AB︱≠0； （C）当n＞m时，必有行列式︱AB︱=0； （D）当n＞m时，必有行列式︱AB︱≠0。 例3 设 例4 设n阶矩阵A满足 ，证明A 及 A+2E 都可逆，并求 及 例5 设 A是四阶矩阵，E是四阶单位阵，