2012优化方案高考数学(理)总复习(北师大版)第10章§10.8.ppt

【名师点评】　解答这类问题的关键是确定所求随机变量在哪个区间内取值，这个区间与应该熟记的三个区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)之间的关系． 均值与方差的实际应用 一些与现实生活有密切联系的问题，主要利用离散型随机变量的均值与方差，判断方案优劣、水平高低等． (2011年广州模拟)某投资者有10万元，现有两种投资方案：一是购买股票，二是存入银行获取利息．买股票的收益主要取决于经济形势，假设可分三种状态：形势好、形势中等、形势不好(即经济衰退)． 例4 若形势好，可获利40000元；若形势中等，可获利10000元；若形势不好，要损失20000元．如果是存入银行，假设年利率为8%，即可得利息8000元．又设经济形势好、中等、不好的概率分别为30%、50%和20%，试问该投资者应选择哪一种投资方案？ 【思路点拨】　买股票的收益与经济形势有关，存入银行的收益与经济形势无关．因此，要确定选择哪一方案，就必须通过计算这两种投资方案对应的收益期望值E来进行判断． 【解】　由题设，一年中两种投资方式在不同的经济形势下对应的收益与概率如下表所示： 购买股票 状态 经济形势好 经济形势中等 经济形势不好 收益 40000 10000 －20000 概率 0.3 0.5 0.2 存入银行 状态 经济形势好 经济形势中等 经济形势不好 收益 8000 8000 8000 概率 0.3 0.5 0.2 从上表可以初步看出，如果购买股票，在经济形势好和经济形势中等的情况下是合算的，但如果经济形势不好，则采取存入银行的方案比较好．下面通过计算加以分析： 如果购买股票，其收益的期望值E1＝40000×0.3＋10000×0.5＋(－20000)×0.2＝13000(元)；如果存入银行，其收益的期望值E2＝8000×0.3＋8000×0.5＋8000×0.2＝8000(元)．因此，购买股票的收益期望值比存入银行的收益期望值大，按期望收益最大原则，应选择购买股票． 【名师点评】　随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是实际中用于方案取舍的重要的理伦依据，一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定，从而解决相关问题． 变式训练2　随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件，三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而生产1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：万元)为ξ. (1)求ξ的分布列； (2)求1件产品的平均利润(即ξ的数学期望)； (3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%，如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？ 故ξ的分布列为 ξ 6 2 1 －2 P 0.63 0.25 0.1 0.02 (2)Eξ＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02 ＝4.34(万元)． (3)设技术革新后的三等品率为x， 则此时1件产品的平均利润为 Eξ＝6×0.7＋2×(1－0.7－0.01－x)＋x＋(－2)×0.01＝4.76－x(0≤x≤0.29)， 依题意，Eξ≥4.73， 即4.76－x≥4.73， 解得x≤0.03. 所以三等品率最多为3%. 方法感悟 方法技巧 1．期望与方差的常用性质．掌握下述有关性质，会给解题带来方便： (1)E(aξ＋b)＝aEξ＋b； E(ξ＋η)＝Eξ＋Eη； D(aξ＋b)＝a2Dξ； (2)若ξ～B(n，p)，则Eξ＝np，Dξ＝np(1－p)． 2．基本方法 (1)已知随机变量的分布列求它的期望、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；(如例1) (2)已知随机变量ξ的期望、方差，求ξ的线性函数η＝aξ＋b的期望、方差和标准差，可直接用ξ的期望、方差的性质求解； (3)如能分析所给随机变量是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，可直接利用它们的期望、方差公式求解．(如例3) 失误防范 1．在没有准确判断概率分布模型之前不能乱套公式． 2．对于应用问题，必须对实际问题进行具体分析，一般要将问题中的随机变量设出来，再进行分析，求出随机变量的概率分布，然后按定义计算出随机变量的期望、方差或标准差． 考情分析 考向瞭望?把脉高考 离散型随机变量的均值和方差是每年必考的知识点之一，题型为填空题或解答题，属中档题，常与排列组合、概率等知识综合命题，既考查基本概念，又注重考查基本运算能力和逻辑推理能力． 预测2012年高考中，离散型随机变量的均值和方差仍然是高考热点，同时应特别注意，均值与方差的实际应用． (本题满分1