卷积和和卷积积分.ppt

2.5 线性时不变系统的性质 系统的记忆性 一、系统的记忆性 系统的无记忆性意味着，任何时刻的输出信号值仅取决于同一时刻的输入信号值，而与其他时刻的输入信号值无关。 二、LTI系统的可逆性 给定一个系统的冲激响应为h(t)，逆系统的冲激响应为h1(t) ，则必定有： 三、LTI系统的因果性 连续和离散时间LTI系统的因果判据分别是： 连续时间或离散时间线性系统的因果性等价于这样的条件，即对于任何时刻t0或n0，若对任何输入x(t)或x[n] ，系统的输出或分别满足如下条件： 四、LTI系统的稳定性 连续或离散时间LTI系统稳定性的充要条件： 例：下列系统是稳定的LTI系统么？ 2.5.3 LTI系统的单位阶跃响应 单位阶跃响应s(t)或s[n]，就是输入为u(t)或u[n]时LTI系统的输出。 单位冲激函数的卷积定义 δ(t)的运算定义为： δ(t)的性质 1、 δ(t)具有单位面积 2、偶函数 3、 δ(t)的筛选性质 4、 x(t)δ(t)=x(0) δ(t) δ(t)各阶导数的运算定义 考虑LTI系统： δ(t)的k阶导数δ(k)(t)都是奇异函数。 δ(t)各次积分的运算定义 单位阶跃函数u(t)是δ(t)的一次积分, δ(t)的二次积分为： 定义： 2.7 用微分和差分方程描述的因果LTI系统 一个离散时间LTI系统的阶跃响应为： s[n]=u[n]*h[n] 即： 即将δ(t)定义为与任意函数卷积运算能产生该函数本身的一种函数。 2.6 奇异函数 这个系统的单位冲激响应是单位冲激的导数，称为单位冲激偶u1(t). uk(t)是δ(t)的k阶导数,是一个取输入k次导数系统的单位冲激响应 定义： u-k(t)是δ(t)的k次积分,是一个取输入k次积分系统的单位冲激响应。 在连续系统中，通过建立系统的常系数微分方程，然后对其求解，以获得系统的响应。 在离散系统中，对系统建立的是差分方程。 例：已知 求： 2.4 卷积和 在连续时间系统中，可以利用卷积积分的方法求系统的零状态响应。这时，首先把激励信号分解成冲激函数，把这些冲激响应的叠加即可得到系统对此激励信号的零状态响应。这个过程称为卷积积分。 在离散系统中，由于离散信号本身就是不连续的序列，对应每个样值序列，每一响应也是一个离散时间序列，把这些序列叠加即得离散系统的零状态响应。 对于任意的激励信号x[n]可以表示成单位冲激序列的加权和，即： 2 卷积和的性质： 与连续函数的卷积积分的性质类似，离散函数的卷积和也满足交换律，结合律以及分配律。 以及满足： 下面分析卷积和的几种运算方法： 从卷积和的表达式： 可知，卷积和也要经过以下四个步骤： 图解法： 以一个例子说明这个方法。已知： （3）相乘、求和： 卷积和的波形如下： 2.解析式法： 对于能够写成比较简洁的表达式的离散函数，可以通过定义求出卷积和。 对于这种不是很明显就看成卷积和的上下限的函数，一般也要通过图解法作为辅助的手段。 （3）多项式相乘法 对于序列长度不是很长的序列，可以通过利用多项式乘法求解。下面举一例子说明这种方法。 为书写方便，写成如下形式： 将两序列的左端或右端对齐，然后相乘。这里采用左端对其的方式。要注意的是不能进位，最后把同一列上的乘积值按对位求和即可得到y[n]。 上面的这个表达式还不完整，还没有确定y[n]的定义域。 一般的，对于一个定义为[n1,n2]的序列x[n]以及[n3,n4]的序列h[n],h[n-k]的定义域为[n-n4,n-n3]，即 上面这道例题，其中n1=0，n2＝3，n3=0，n4=2，则其定义域为[0，5]。 （4）序列长度 x[n]定义在[n1,n2]以及h[n]定义在[n3,n4]上。 若定义x[n]的序列长度为Nf，h[n]的序列长度为Nh，y[n]的长度为Ny,则 （4）解卷积运算 在许多信号处理的实际问题中，需要做解卷积运算，即已知x[n](h[n])，y[n]，求h[n](x[n])。 解卷积运算可以用长除法来进行。仍举上面的例子进行说明。 其起始位置可以通过我们在前面求卷积和的方法来推导出。 例： 设3个LTI因果系统的级联如图所示，其中冲激响应h2[n]为 h2[n]=u[n]-u[n-2] 而总的冲激响应为： h[n]={1,5,10,11,8,4,1},n=0,1,2,3,4,5,6; (1)求冲激响应h1[n]; (2)求整个系统对x[n]=δ[n]- δ[n-1]的响应。 这里相当于求卷积，采用长除法： 故：h1[n]={1,