2012年高考总复习一轮《名师一号-数学》第48讲.ppt

共 57 页 第四十八讲　 (第四十九讲(文))空间向量的坐标运算 回归课本 1.如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用i，j，k来表示． 在空间选定一点O和一个单位正交基底，如图，以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫坐标轴，这时我们说建立了一个空间直角坐标系O－xyz，点O叫原点，向量i，j，k都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称xOy平面、yOz平面、zOx平面． 作空间直角坐标系O－xyz时，一般使∠xOy＝135°，∠yOz＝90°. 对于空间任一向量a，由空间向量的基本定理，存在唯一的有序实数组(a1，a2，a3)，使a＝a1i＋a2j＋a3k. 有序实数组(a1，a2，a3)叫做a在空间直角坐标系O－xyz中的坐标，记为a＝(a1，a2，a3)．对于空间任一点A，对应一个向量，于是存在唯一的有序实数组x，y，z，使＝xi＋yj＋zk，即点A的坐标为(x，y，z)． 2．向量的直角坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)； a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)； a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3； a∥b?a＝λb?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)或＝＝(b1，b2，b3均不为0)． a⊥b?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0. 设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则 ＝－＝(x2，y2，z2)－(x1，y1，z1)＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)； 这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标． 答案：C 答案：B 答案：B 答案：D 答案：A 类型一　　空间向量的坐标运算　　 解题准备：向量坐标的运算，就是向量的同名坐标之间的代数运算，向量相等就是对应坐标相等．要注意区分点的坐标与向量的坐标的关系． 【典例1】　设向量a＝(3,5，－4)，b＝(2,1,8)，计算2a＋3b,3a－2b，a·b以及a与b所成的角的余弦值，并确定λ，μ的值，使λa＋μb与z轴垂直． ＝(3λ＋2μ，5λ＋μ，－4λ＋8μ)·(0,0,1) ＝－4λ＋8μ＝0知， 只要λ，μ满足－4λ＋8μ＝0即可使λa＋μb与z轴垂直 [点评]　由本例可知，要使向量a＝(x1，x2，x3)与z轴垂直，只要x3＝0即可．可见，要使向量a与某一个坐标轴垂直，只要向量a的相应坐标为零即可，且反之亦真．空间向量的坐标运算类似于平面向量的坐标运算，解决此类问题关键是熟练运用公式．． 类型二　　空间向量的平行与垂直问题 解题准备：用向量方法证明线面平行有多种方法，一是证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线(平行)向量；二是证明直线的方向向量与该平面的法向量垂直；还可以证明直线的方向向量与平面的两不共线向量是共面向量，即利用平面向量基本定理进行证明，同学们不妨试一下这种方法． 【典例2】　如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点． (1)求证：AM∥平面BDE； (2)求证：AM⊥平面BDF. 3．求二面角的大小，如图所示，在二面角α -l-β中，n1和n2分别为平面α和β的法向量．记二面角α-l-β的大小为θ，由cos〈n1，n2〉＝m得： 若二面角为锐角，则θ＝arccos|m|； 若二面角为钝角，则θ＝π－arccos|m|. 【典例3】　 2011·淄博市一模)如图，三棱锥P—ABC中，PC⊥平面ABC，PC＝AC＝2，AB＝BC，D是PB上一点，且CD⊥平面PAB. (1)求证：AB⊥平面PCB； (2)求异面直线AP与BC所成的角的大小； (3)求二面角C—PA—B的余弦值． [点评]　本题第(2)问建立空间直角坐标系，如果选取的方式不同，则图中各点的坐标表示也不相同；第(3)问利用两平面的法向量研究二面角问题，避免了辅助线的麻烦，但解题关键是平面法向量的求法，以及观察二面角是锐角还是钝角，不然容易出错． 平面法向量的求法：设平面的法向量为n＝(x，y，z)，利用与平面内的两个向量a、b垂直，其数量积为零，列出两个三元一次方程，然后只要取其某一组解，即得平面的法向量．如本例中平面PAC的法向量n就是这样求得的． 探究1：如图，已知点P在正方体ABCD—A′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA＝60°. (1)求DP与CC′所成角的大小； (2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小． 点评：本题考查空间向量的基础知识，空间向量在实际问题中的应用及运算能力． 探究2