2013届高考文科数学总复习(第1轮)广西专版课件：9.6空间向量的坐标运算(第2课时).ppt

1. 如图，已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为1和2， AB=4. (1)求直线PQ与平面 ADQ所成的角; (2)求异面直线AQ与PB所成的角. 解：(1)连结AC、BD，设其交点为O，则PO⊥平面ABCD，QO⊥平面ABCD，从而P、O、Q三点共线. 分别以直线CA、DB、 QP为x轴、y轴、z轴建立 空间直角坐标系(如图)， 则由已知可得A( ，0，0)，Q(0，0，-2)，D(0，- ，0)，P(0，0，1). 所以 =(0，0，-3)， =(- ，0，-2)， =(0， ，-2). 设n=(x，y，z)是平面ADQ的一个法向量. 由 ，得 取x=1，则z=- ，y=-1， 所以n=(1，-1，- ). 设直线PQ与平面ADQ所成的角为θ，则 sinθ=|cos〈n， 〉| 所以θ= . 故直线PQ与平面ADQ所成的角为 . (2)因为B(0， ，0)，所以 =(0， ，-1). 又 =(- ，0，-2)， 所以cos〈 ， 〉= . 故异面直线AQ与PB所成的角为arccos . 点评：两向量的夹角公式可直接用来求两直线的夹角；而线面角可转化为直线对应的向量与平面的法向量所成的角；二面角可转化为两个平面的法向量所成的角.另外还需注意所求角与两向量夹角之间的关系. 如图，在长方体ABCD-A1 B1 C1D1中，已知AB=4，AD=3，AA1=2.E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB=FB=1. (1)求二面角C-DE-C1的 正切值； (2)求直线EC1与FD1所 成角的余弦值. 解：(1)以A为原点，AB,AD,AA1分别为x轴，y轴，z轴的正向，建立空间直角坐标系A-xyz. 则有D(0，3，0)、D1(0，3，2)、E(3，0，0)、F(4，1，0)、C1(4，3，2). 于是 =(3,-3,0), =(1,3,2), =(-4,2,2). 设向量n=(x,y,z)与平面C1DE垂直， 则有  取z=2,则n=(-1,-1,2). 则n是一个与平面C1DE垂直的向量. 因为向量 =(0，0，2)与平面CDE垂直 观察图形知，n与 所成的角θ即为二面角C-DE-C1的平面角. 因为cosθ= 所以tanθ= . 所以二面角C-DE-C1的正切值为 . (2)设EC1与FD1所成的角为β， 则 2. 长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，AD=6，AA1=4，M是A1C1的中点，P在线段BC上，且CP=2，Q是DD1的中点， 求： (1)点M到直线PQ的距离; (2)点M到平面AB1P的距离. 解：(1)如图所示，建立空 间直角坐标系B-xyz，则A(4，0，0)，M(2，3，4)，P(0，4，0)，Q(4，6，2). 因为 =(-2，-3，2)， =(-4，-2，-2)， 所以 在 上的射影长为 故点M到PQ的距离为 (2)设n=(x，y，z)是平面AB1P的法向量， 则n⊥ ，n⊥ . 因为 =(-4，0，4)， =(-4，4，0)， 所以 .因此可取n=(1，1，1). 由于 =(2，-3，-4)， 那么点M到平面AB1P的距离为 在四棱锥P-ABCD中，底面AB C D为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB = ，BC=1，PA=2，E为PD的中点. (1)在侧面PAB内找一 点N，使NE⊥平面PAC， 并求出点N到AB和AP的距离； (2)求(1)中的点N到平面PAC 的距离. 解：(1)建立空间直角坐标系，如图. 则A、B、C、D、P、E的坐标分别是A(0,0,0)、 B( ,0,0)、C( ,1,0)、 D(0,1,0