2013届高考理科数学总复习(第1轮)全国版课件：9.6空间向量的坐标运算(第2课时).ppt

1. 如图，已知两个正四棱锥P-ABCD 与Q-ABCD的高分别为1和2，AB=4. (1)求直线PQ与平面 ADQ所成的角; (2)求异面直线 AQ与PB所成的角. 解：(1)连结AC、BD，设其交点为O， 则PO⊥平面ABCD，QO⊥平面ABCD， 从而P、O、Q三点共线. 分别以直线CA、DB、 QP为x轴、y轴、z轴建立 空间直角坐标系(如图)， 则由已知可得A( ，0，0)， Q(0，0，-2)，D(0， ，0)，P(0，0，1). 所以 =(0，0，-3)， =(- ，0，-2)， =(0， ，-2). 设n=(x，y，z)是平面ADQ的一个法向量. 由 ，得 取x=1，则z=- ，y=-1， 所以n=(1，-1，- ). 设直线PQ与平面ADQ所成的角为θ，则 sinθ=|cos〈n， 〉| 所以θ= . 故直线PQ与平面ADQ所成的角为 . (2)因为B(0， ，0)，所以 =(0， ，-1). 又 =(- ，0，-2)， 所以cos〈 ， 〉= . 故异面直线AQ与PB所成的角为arccos . 点评：两向量的夹角公式可直接用来求两直线的夹角；而线面角可转化为直线对应的向量与平面的法向量所成的角；二面角可转化为两个平面的法向量所成的角.另外还需注意所求角与两向量夹角之间的关系. 2. 长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，AD=6，AA1=4，M是A1C1的中点，P在线段BC上，且CP=2，Q是DD1的中点， 求：(1)点M到直线PQ的距离; (2)点M到平面AB1P的距离. 解：(1)如图所示，建立空 间直角坐标系B-xyz， 则A(4，0，0)，M(2，3，4)， P(0，4，0)，Q(4，6，2). 因为 =(-2，-3，2)， =(-4，-2，-2)， 所以 在 上的射影长为 故点M到PQ的距离为 (2)设n=(x，y，z)是平面AB1P的法向量， 则n⊥ ，n⊥ . 因为 =(-4，0，4)， =(-4，4，0)， 所以 因此可取n=(1，1，1). 由于 =(2，-3，-4)， 那么点M到平面AB1P的距离为 在四棱锥P-ABCD中，底面AB C D为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB = ，BC=1，PA=2，E为PD的中点. (1)在侧面PAB内找一点N， 使NE⊥平面PAC，并求 出点N到AB和AP的距离； (2)求(1)中的点N到 平面PAC的距离. 解：(1)建立空间直角坐标系，如图. 则A、B、C、D、P、E的坐标分别是 A(0,0,0)、B( ,0,0)、 C( ,1,0)、D(0,1,0)、 P(0,0,2)、E(0, ,1). 依题意设N(x,0,z)， 则 =(-x, ,1-z). 由于 ⊥平面PAC，所以 则 ，即 解得 ，即点N的坐标为( ,0,1)， 从而点N到AB、AP的距离分别为1， . (2)设点N到平面PAC的距离为d， 则 1. 运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题时，一般步骤为： (1)建立恰当的空间直角坐标系(例如:底面是矩形的直四棱柱，以底面其中一个顶点为原点建立空间直角坐标系；底面是菱形的直四棱柱，往往以底面对角线的交点为原点建立空间直角坐标系); (2)求出相关点的坐标； (3)写出向量的坐标; (4)结合公式进行论证、计算; (5)转化为几何结论. 建立空间直角坐标系，必须牢牢抓住相交于同一点的两两垂直的三条直线，要在题目中找出或构造出这样的三条直线，因此，要充分利用题目中所给的垂直关系(即线线垂直、线面垂直、面面垂直)，同时要注意，所建立的坐标系必须是右手空间直角坐标系. 2. 求空间角和距离有如下一些基本原理： (1)平面的法向量的求法：设n=(x，y，z)，利用n与平面α内的两个不共线向量a，b垂直，其数量积为零，列出两个三元一次方程，联立后取一组解(如图1). (2)线面角的