2013概率论与数理统计总复习知识点归纳.ppt

概率论与数理统计总 复 习 * * 第一章 事件的概率 2. 概率的定义： 3. 概率的性质： ① ② ③ 4.两个概念(对立)： ①非负性；②规范性；③可列可加性。 A与B独立 ←→P(AB)=P(A)P(B) A与B互不相容 → P(AB)=0, P(A∪B)=P(A)+P(B) ←→ AB=φ 1.古典概率—乘法原理、排列组合；几何概率—均匀分布 → P(A)≠0时, P(B/A)=P(B) 5. 两个公式 P(Ai /B ) 后验概率 A1 A2 ........ An B P(Ai)—— 先验概率 P(B/Ai) 例1 设甲、乙、丙三人的命中率分别为0.3，0.2，0.1。现三人独立地向目标各射击一次，结果有两次命中目标，试求丙没有命中目标的概率。 记A、B、C分别为甲、乙、丙命中目标，D 为目标被命中两次. 解 =0.092 法一 用条件概率直接求解。 P(B ) 法二 用Bayes公式： C D 0.1 0.9 0.3*0.2 0.3*0.8+0.7*0.2 P (C) = 0.1, P (D/C) = 0.3*0.8+0.7*0.2, 于是有 例2 填空(可作图帮助分析) (1) 设P(A)=0.7，P(A-B)=0.3，则 =______ (2) 若A 与B 独立，且A 与B 互不相容，则min{P(A)，P(B)}=____。 0 0.6 (3) 已知P(A)=0.3，P(B)=0.5。则当A与B相互独立时，有P(A∪B)=_____；当A与B不相容时，有P(B-A)=____；当P(A/B)=0.4时，有 0.65 0.5 0.4 第二、三章 随机变量及其分布 1.常用分布 B(n,p)，P(? )，U[a,b]，E(? )，N(?, ?2 )； 2.联合分布和边缘分布 4.随机变量函数的分布 ② 公式法： ① 分布函数法(C.R.V.)： （注意分段） 独立时，Min (X1, X2, …, Xn) 和 Max (X1, X2, …, Xn)的分布。 3.概率的计算 (一维或二维C.R.V.：一重或二重积分) 作图、定限再计算、验证 独立时 二维均匀、二维正态 5 随机变量的独立性 正态分布的线性组合性质(含正态分布可加性) 若Xi ~ N( ?i，?i 2), i=1,2,...n, 相互独立，则对任何实数a1, a2, …, an, 有 例3 已知X~ f(x)，求Y= -X2的概率密度。 解 用分布函数法。 y0 时， y≥0 时， FY(y) = P(Y≤y) =1 于是Y的概率密度为 FY(y) = P(Y≤y) = P(-X2 ≤y) 例4 设二维随机变量(X,Y )的联合密度函数为： 解 求随机变量Z=X+Y 的密度函数fZ(z)。 法一(分布函数法)： 0 x y 1 1 法二 (公式法)： 注意到被积函数的非零区域G为： x=z x=z-1 1 1 0 z x 2 G 第四章 数字特征小结(定义、含义、计算和性质) 1.计算（附表一：六大分布） 2.性质 ⑴ E(aX+b)=aE(X)+b，D(aX+b)=a2D(X) ⑵ E(∑iλi Xi)=∑i λi E(Xi) (3) D(λ1X±λ2Y)=λ12D(X)+λ22D(Y) ±2λ1λ2Cov(X,Y) (4) 独立必不相关，反之则不一定。 E(X) , E(Y) , E(XY) E(X2) , E(Y2) 例5 设C.R.V.(X, Y)在三角形区域G: 0≤x ≤1, 0≤y ≤1-x上服从均匀分布，求Cov (X, Y)和ρXY. 解 同理 E(X2 )=1/6, E(XY )=1/12. 从而DX=E(X2 )- (EX )2=1/18 由对称性有 E(Y )= E(X )=1/3, DY= DX = 1/18. 于是 Cov (X, Y) = E(XY )- E(X) E(Y ) = 1/12-(1/3)2 = -1/36 例6 设Θ~U(0, 2π), X=cosΘ, Y = cos(Θ+a), 其中0≤a 2π为常数，试求ρXY 并由此讨论X 与Y之间的关系。 解 于是 当 a = 0， ρXY = 1， 当a = π/2 或 3π/2 时，因 ρXY = 0，故X 和Y不相关。 例7 求 例8 设(X,Y) ~ N(μ1, μ2, σ12, σ22, ρ), 可以推出哪些结论？(分布特点、边缘分布、数字特征、独立与不相关等) 当a = π， ρXY = -1， 两种情况下X和Y都呈线性关系。 这时Y = - X 。 这时Y = X ； 但却有X2 + Y2