2013江苏专转本第四章向量代数与空间解析几何.ppt

一、向量的概念 二、向量的线性运算 3. 向量与数的乘法 三、空间直角坐标系 在直角坐标系下 2. 向量的坐标表示 五、两向量的数量积 3. 运算律 2. 性质 4. 向量积的坐标表示式 例4-2. 已知三点 一、平面的点法式方程 例4-6.求过三点 特别,当平面与三坐标轴的交点分别为 二、平面的一般方程 特殊情形 例4-7. 求通过 x 轴和点( 4, – 3, – 1) 的平面方程. 三、两平面的夹角 特别有下列结论： 例4-8. 一平面通过两点 2. 对称式方程 3. 参数式方程 例4-10.用对称式及参数式表示直线 二、线面间的位置关系 1. 两直线的夹角 例4-11. 求以下两直线的夹角 2. 直线与平面的夹角 例4-12. 求过点(1,－2 , 4) 且与平面 1. 空间直线方程 2. 线与线的关系 3. 面与线间的关系 设平面∏1的法向量为 平面∏2的法向量为 则两平面夹角? 的余弦为 即 两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角. 因此有 垂直于平面∏: x + y + z = 0, 求其方程 . 解: 设所求平面的法向量为 即 的法向量 约去C , 得 即 和 则所求平面 故 方程为 且 例4-9.求过点 且垂直于二平面 和 的平面方程. 解: 已知二平面的法向量为 取所求平面的法向量 则所求平面方程为 化简得 1.平面基本方程 一般式 点法式 截距式 内容小结 2.平面与平面之间的关系 平面 平面 （1）垂直: （2）平行: （3）夹角公式: 因此其一般式方程 1. 一般式方程 直线可视为两平面交线， (不唯一) 第三节 空间直线方程 一、空间直线方程 故有 设直线上的动点为 则 此式称为直线的对称式方程(也称为点向式方程) 已知直线上一点 和它的方向向量 设 得参数式方程 : 解:先在直线上找一点. 再求直线的方向向量 令 x = 1, 解方程组 ,得 已知直线的相交两平面的法向量为 是直线上一点 . 故所给直线的对称式方程为 参数式方程为 解题思路: 先找直线上一点; 再找直线的方向向量. 则两直线夹角 ? 满足 特别有: 解: 直线 直线 二直线夹角? 的余弦为 从而 的方向向量为 的方向向量为 当直线与平面垂直时,规定其夹角 线所夹锐角? 称为直线与平面间的夹角; ? 当直线与平面不垂直时, 设直线 L 的方向向量为 平面 ? 的法向量为 则直线与平面夹角 ? 满足 直线和它在平面上的投影直 ︿ 特别有: 解: 取已知平面的法向量 则直线的对称式方程为 直的直线方程. 为所求直线的方向向量. 垂 一般式 对称式 参数式 内容小结 * * 第四章 向量代数与空间解析几何 表示法: 向量的模 : 向量的大小, 1.向量: (又称矢量). 既有大小, 又有方向的量称为向量 2.向径 (矢径): 3.自由向量: 与起点无关的向量. 起点为原点的向量. 4.单位向量: 模为 1 的向量, 5.零向量: 模为 0 的向量, 有向线段 M1 M2 , 或 a 第一节 向量及其线性运算 6.若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等, 记作 a＝b ; 规定: 零向量与任何向量平行 ; 8.若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行, a∥b ; 记作 9.因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称 两向量共线 . 7.与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量, 记作－a ; 1. 向量的加法 三角形法则: 平行四边形法则: 2. 向量的减法 ? 是一个数 , ? 与 a 的乘积是一个新向量, 记作 运算律 : 结合律 分配律 因此 结论： 设 a 为非零向量 , 则 (? 为唯一实数) a∥b Ⅶ Ⅱ Ⅲ Ⅵ Ⅴ Ⅷ Ⅳ 由三条互相垂直的数轴按右手规则 组成一个空间直角坐标系. 坐标原点 坐标轴 x轴(横轴) y轴(纵轴) z 轴(竖轴) 过空间一定点 o , 坐标面 卦限(八个) zox面 1. 空间直角坐标系的基本概念 Ⅰ 向径 坐标轴上的点 P, Q , R ; 坐标面上的点 A , B , C 点 M 特殊点的坐标 : 有序数组 (称为点 M 的坐标) 原点 O(0,0,0) ; 坐标轴 : 坐标面 : 在空间直角坐标系下, 设点 M 则 沿三个坐标轴方向的分向量. 的坐标为 此式称为向量 r 的坐标分解式 , 任意向量 r 可用向径 OM 表示. 设 则 3.平行向量对应坐标成比例: 1. 2. 4. 四、利用坐标作向量的线性运算 已知向量 5. 6. 已知点 （终点坐标减去起点坐标） 1. 定义 设向量 的夹角为? ,