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第七章 回归分折 讨论随机变量与非随机变量之间的关系的问题称回归分析；讨论随机变量之间的 关系的问题称相关分析．对于这两种问题，或统称回归分析，或统称相关分析都可以 ． 　　但是，自然界的众多的变量间，还有另一类重要关系，我们称之为相关关系．例 如，施肥量与农作物产量之间的关系，这种关系虽不能用函数关系来描述，但施肥量 与产量有关系，这种关系就是相关关系，又比如，人的身高与体重的关系也是相关关 系，虽然人的身高不能确定体重，但总的说来，身高者，体也重些，总之，在生产斗 争与科学实验中，甚至在日常生活中，变量之间的相关关系是普遍存在的．其实，即 使是具有确定性关系的变量间，由于实验误差的影响，其表现形式也具有某种的不确 定性． 　　 回归分折方法是数理统计中一个常用方法，是处理多个变量之间相关关系的 一种数学方法,．它不仅提供了建立变量间关系的数学表达通常称为经验公式的一 般方法，而且还可以进行分析，从而能判明所建立的经验公式的有效性，以及如何利 用经验公式达到预测与控制的目的．因而回归分析法得到了越来越广泛地应用． 回归 分析主要涉及下列内容： (1)从一组数据出发，分析变量间存在什么样的关系，建立这些变量之间的关系式(回 归方程)，并对关系式的可信度进行统计检验； 　(2)利用回归方程式，根据一个或几个变量的值，预测或控制男一个变量的取值； (3)从影响某一个变量的许多变量中，判断哪些变量的影响是显著的，哪些是不显著 的，从而可建立更实用的回归方程， 　(4)根据预测和控制所提出的要求，选择试验点，对试验进行设计． 我们在本章，重点讨论一元线性回归，对多元回归只作简单地介绍． 　　　　　　　　　　　　§1 一元线性回归 　　一元线性回归分析中要考察的是：随机变量与一个普通变量之间的联系。 　　对有一定联系的两个变量： 　　　　　　　　　　　　　　　 与， 我们的任务是根据一组观察值 　　　　　　　 　判断与是否存在线性关系 　　　　　　　　　　　，　 　我们能否通过这组观察值将确定系数与出来呢?这就是回归问题要解决的问题，且 判断与是否真存在此线性关系. 　 一 . 经验公式与最小二乘法: 【例1】 纤维的强度与拉伸倍数有关．下表给出的是24个纤维样品的强度与拉伸 倍数的实测记录．我们希望通过这张表能找出强度y与拉伸倍数x之间的关系式 　　　们将观察值作为24个点，将它们画在平面上，这张图称为散点图，这散点图启 示我们，这些点虽然是散乱的，但大体上散布在一条直线的周围．也就是说，拉伸倍 数与强度之间大致成线性关系．我们用 　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　（＊） page 1 确定，是线性的，要完全确定经验公式， 就要确定(＊)中的系数和，这里通常称为 回归系数，关系式 叫做回归方程．　　　　 从散点图来看，要找出与是不困难的，在图上划一条直线，使该直线总的来看最 接近这24个点．于是，这直线在y轴上的截距就是所求的，它的斜率就是所求的．几 何方法虽然简单，但是太祖糙，而对非线性形式的问题，就几乎无法实行．然 而，它的基本思想，即使该直线总的说来最接近这24个点，却是很可取的，问题是 把这基本思想精确化，数量化．下面介绍一种方法，求一条直线使其总的来看最接近 这24个点，这就是最小二乘法． 给定的个点,那么，对于平面上任意一条直线 　　　　　　　　: 我们用数量 来刻画点到直线的远近程度, 于是二元函数 　　　　　　　　 就定量的描述了直线跟这个点的总的远近程度,这个量是随不同的直线而变化,或者说 是随不同的与而变化的,于是要找一条直线, 使得该直线总的来看最接近 这 n个点 的问题就转化为: 要找两个数与, 使得二元函数在处达到最小, 即　　　 　　　　　　　　　　　　　 　 由于是个量平方之和，所以使最小的原则称为平方和最小原则，习惯上称为最 小二乘原则．由最小二乘原则求与估计值的方法称为最小二乘法． 按照最小二乘原则，具体求的问题就是利用极值原理，求解二元一次联立 方程组有唯一解: 　　　　　　 　　于是， 对于给定的个点，先算出，再算出，就得到了所求的回归方程: 可计算【例１】的 　　　　　　　　　 因此所求经验公式, 即回归方程为 【例2】P．236―――　例1.2