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回归试验设计 1 回归设计的基本概念 2 一次回归正交设计 3 二次回归的中心组合设计 4 二次回归正交设计 进行最优化 2．数据分析 本例的计算见表12.2.7，有关方程与系数的检验见表12.2.8。在本例中n=8。 根据表12.2.7，可以写出y关于x1,x2,x3的回归方程为： 若取显著性水平为0.05，有 ，由于F6.59，所以上述求得的回归方程是有意义的。 在显著性水平为0.05时， ，由表12.2.8知因子x2不显著，其它因子显著。 在正交回归设计中，当某一变量不显著时，可以直接将它删去，此时不会改变其它的回归系数，也不会改变这些变量的偏回归平方和，这是正交回归设计的一个优点。 现在将x2从回归方程中删去，最后得各因子均为显著的回归方程是： 将编码式： 代入，得y关于z1,z3的回归方程为： 从方程知，当z1，z3增加时，y也会相应增加。 我们把不显著变量的偏回归平方和加到残差平方和中，从而获得方程对应的 的估计。 在本例中残差平方和变成 因此 的估计为 。 ? 7.2.3 含交互作用的模型 当变量间存在交互作用时，我们可以更一般地考虑建立含两个因子间交互作用的模型，其交互作用用两个因子的编码值的乘积表示，即可假定有如下的回归模型： 只要在回归的一次正交设计中， n大于 就可以将其看成是k元线性回归，并且这k项仍然是相互正交的，因此可以在表12.2.3中加上诸列，按同样的计算便可求得诸回归系数，并对它们进行检验。 譬如对例7.2.1来讲，我们可以建立如下回归方程： 系数的估计可以按表7.2.9计算。 对系数与方程的检验见表7.2.10。 若取显著性水平为0.10，那么 ，此时所有交互效应与因子x2不显著，结论同上。 7.2.4 快速登高法 我们进行回归设计目的是要寻找最好的条件，但是在开始进行试验时，可能与最优条件相距甚远，此时需要寻找一条进行试验的路径，使指标值很快达到最大（或最小），快速登高法便是这样一种快速向最优点逼近的方法（若要求指标值小的话，也称最速下降法）。 1 . 快速登高法的基本想法是： 根据微分学原理，任一多元函数在局部区域内总可以用一个多维平面去近似。利用一次回归正交设计可以建立一次回归方程，此时如果要在编码空间中寻找一个点使指标y达到最大（或最小），那么这个点总是位于边界上。当点越出边界后，指标值是否会更大（或更小）呢？ 为回答这一问题，我们可以采用如下的方法：先在一个小区域上拟合一次回归方程 (12.2.11) 再从编码空间的中心出发，沿着(12.2.11)的“梯度方向”选择若干个试验点进行试验，以便观察指标y的变化，从而寻找使y达到更大（或更小）的点。这种从编码空间的中心出发，在(12.2.11)的梯度方向上安排若干试验点的方法称为快速登高法。 2.梯度方向 一个多元函数 在点 的梯度是一个p维向量，其第j个分量是y关于xj的偏导在该点的值，这一向量所决定的方向便是该点的梯度方向，它是多元函数y增长最快的方向。 对(12.2.11) 来讲，任意一点的梯度方向是(b1,b2,…,bp)’。如果因子间存在交互作用，这时建立的回归方程为： 那么在编码中心(0,0,…,0)的梯度方向仍为(b1,b2,…,bp)’。 3.快速登高法的试验点 记因子 的零水平为 ，变化半径为 ，编码值 的回归系数为 ，沿梯度方向的试验点取为 ， 这里m是在梯度方向上进行试验的点数。在因子空间中， ，称 为步