22概率统计第六章第四节.ppt

第四节 抽样分布 统计量的分布称为抽样分布。 在使用统计量进行统计推断时常需知道它的分布. 当总体的分布函数已知时，抽样分布是确定的，然而要求出统计量的精确分布，一般来说是困难的. 本节介绍来自正态总体的几个常用统计量的分布. 今后，我们将看到这些分布在数理统计中有重要的应用. 一、三个重要分布 为了讨论正态总体下的抽样分布，先引入由正态 分布导出的统计量中的三个重要分布，即 分布，分布，分布。 1. 分布 设 是来自总体 的样本，则称统计量 （1） 服从自由度为 的 分布， 记为 例如 对于 ，查得 但该表只详列到 ．费歇（R.A.Fisher）曾 证明，当 充分大时，近似地有 （9） 其中 是标准正态分布的上 分位点。利用（8）式 可以求得当 时， 分布的上 分位点的近似值 二、正态总体统计量分布 研究数理统计的问题时，往往需要知道所讨论的统计量 的分布．一般说来，要确定某个统计量的分布是困难的，有的甚至是不可能的．然而，对于总体服从正态分布的情形已经有了详尽的研究. 下面我们讨论服从正态分布的总体的统计量的分布. 这个定理的证明从略，我们仅对自由度作一些说明 上述两定理是正态总体统计推断的基础，因而是十分重要的，下面列举其应用 （有些结论我们放在习题6-4中） 本节所介绍的几个分布以及几个重要结论，在下面各章中都起着重要的作用。应注意，它们都是在总体为正态这一基本假定下得到的。 经 济 数 学 此处，自由度是指（1）式右端包含独立变量个数 分布的概率密度为 的图形如图6－3所示。 （2） 图6-3 此结论可推广：设 且相互 独立 分布的可加性 设 , 并且 独立，则 （证明略） 则 若 ，则有 分布的数学期望和方差 因 故 因此 又 所以 也相互独立 由于 相互独立 于是 则称点 为 的上 分位点 分布的分位点 定义 设有分布函数 ,若对给定的 有 (6) 当 有密度函数 时，式（6）可写成 (7) 由上述定义得 分布的上 分位点为 (8) 例如由（9）式可得 （由更详细的表得 ） 2. 分布 设 ， ，且 独立 服从自由度为 的 分布 则称随机变量 （10） 记为 分布又称为学生氏（student）分布 分布的概率密度函数为 (11 ) 当 n 充分大时, 其图形近似于标准正态变量概率密度的图形. 由分布的对称性知 3. 分布 设 且 独立， 则称随机变量 服从自由度为 的 分布 记为 （16） 的概率密度为 （17） 图6-7中画出了 的图形 由定义可知，若 则 （ 18） 图6-7 分布的分位点 对于给定的 ,称满足条件 （19） 的点 为 分布的上 分位点(图6-8) 图6-8 容易证明等式： （20） 利用这个等式，查附录表，可以计算当 时的 的值 例如 F分布的上 分位点有表格可查（见附表 5） 假设 是来自正态总体 的样本，即它们是独立同分布的,皆服从 分布, 样本均值与样本方差分别是 定理1 设总体 服从正态分布 ， （21） 即 则 因为随机变