25平面向量的概念及线性运算.ppt

温馨提示: 请点击相关栏目。 整知识· 萃取知识精华 整方法·启迪发散思维 考向分层突破一 · 自主练透型 考向分层突破二 · 互动讲练型 考向分层突破三 · 分层深化型 1．向量的有关概念 考点 ? 分类整合 定义 表示 模 既有大小，又有方向的量叫做向量 (1)字母表示：a，b，c等(2)有向线段表示：AB，CD等 向量的长度叫做向量的模，记作|a|或|AB| 结束放映 返回导航页 2.几个特殊向量 名　称 意　义 单位向量 零向量 长度等于0的向量，其方向是任意的，记作0 平行向量 相等向量 相反向量 长度等于1个单位的向量 方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线 长度相等且方向相同的向量 长度相等且方向相反的向量 结束放映 返回导航页 3.向量的加法与减法 加法 法则(或几何意义) 定义 求两个向量和的运算 运算律 (1)交换律：a＋b＝b＋a (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 向量a加上向量b的相反向量叫做a与b的差，即 a＋(－b)＝a－b a－b＝a＋(－b) 结束放映 返回导航页 4.向量的数乘运算及其几何意义 5．共线向量定理 (2)运算律：设λ，μ是两个实数，则 ①λ(μa)＝(λμ)a； ②(λ＋μ)a＝λa＋μa； ③λ(a＋b)＝λa＋λb. 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa. (1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下： ①|λa|＝|λ||a|； ②当λ0时，λa与a的方向相同；当λ0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0. 结束放映 返回导航页 1．三点共线的等价转化 考点 ? 分类整合 2．向量的中线公式 3．三角形的重心 若P为线段AB的中点，O为平面内一点，则OP＝ (OA＋OB) 已知平面内不共线的三点A，B，C，PG＝ (PA＋PB＋PC)?G是△ABC的重心．特别地，PA＋PB＋PC＝0?P为△ABC的重心． A，P，B三点共线?AP＝λAB(λ≠0)?OP＝(1－t)?OA＋tOB(O为平面内异于A，P，B的任一点，t∈R)?OP＝xOA＋yOB(O为平面内异于A，P，B的任一点，x∈R，y∈R，x＋y＝1)． 结束放映 返回导航页 1．给出下列命题： ①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量． ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小． ③λa＝0(λ为实数)，则λ必为零． ④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线． 其中错误命题的个数为(　　) A．1　　B．2 C．3 D．4 考向分层突破一：平面向量的基本概念 解析：①错误．两向量共线要看其方向而不是起点与终点． ②正确．因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小． ③错误．当a＝0时，不论λ为何值，λa＝0. ④错误．当λ＝μ＝0时，λa＝μb，此时a与b可以是任意向量． 答案：　C 结束放映 返回导航页 解析：　①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同． 综上所述，正确命题的序号是②③.答案：　②③ 2．给出下列命题： ①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.其中正确命题的序号是________． ②正确．∵AB＝DC，∴|AB|＝|DC|且AB∥DC， ④不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b， 故“|a|＝|b|且a∥b”不是“a＝b”的充要条件，而是必要不充分条件． ③正确．∵a＝b.∴a，b的长度相等且方向相同；又b＝c， ∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c. 又∵A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形； 反之，若四边形ABCD为平行四边形，则AB∥DC且|AB|＝|DC|， 因此，AB＝DC.故“AB＝DC”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件． 结束放映 返回导航页 对于向量的概念应注意以下几条： (1)向量的两个特征：有大小和方向，向量既可以用有向线段和字母表示，也可以用坐标表示； (2)相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量则未必是相等向量； (3)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小． 结束放映 返回导航页 考向分层突破二：