25随机变量函数的分布.ppt

§２.５ 随机变量函数的分布 例1. 已知X的概率分布为  X -1 0 1 2 5 P 0.3 0.1 0.2 0.15 0.25求: ① Y=2X+1；② Y=X2 的概率分布. 解: ① Y -1 1 3 5 11 P 0.3 0.1 0.2 0.15 0.25 一般地, (1) 若yk的值全不相同，则P{Y= yk}=P{X= xk}， 二、连续型随机变量函数的分布 例2. 设随机变量X具有密度 1.分布函数法 2.公式法 解: X的概率密度为 例6. 设X～N(m,s2)，求证Y= aX+b(a≠0)也服从正态分布. 例6. 设X～N(m,s2)，求证Y= aX+b(a≠0)也服从正态分布. 《概率统计》 下页 结束 返回 一、离散型随机变量函数的分布 二、连续型随机变量函数的分布 下页 ② Y 0 1 4 25 P 0.1 0.3+0.2 0.15 0.25 一 、离散型随机变量函数的分布 若X是离散型的，则Y=g(X)也是离散型随机变量，且它的 取值为yk=g(xk)，其分布可以直接由X的分布求得. 下页 则 Y y1 y2 … y k … P p1 p 2 … pk … 即若X的概率分布为 X x1 x2 … x k … P p1 p 2 … pk … (2) 若yk中有相同的情形，则应把那些相同的值加以合并, 再根据加法定理把对应的概率pk相加. 下页 FY(y)= P{Y≤y}=P{2X+8≤y} 所以 于是 Y的分布函数为FY(y), 解： 设X 的分布函数为FX(x), 求随机变量 的概率密度. Y的概率密度为fY(y)，则 下页 一般地，若已知X的概率密度为fX(x),求其函数Y=g(X) 的概率密度fY(y)分两个步骤： ① 根据分布函数的定义求Y的分布函数FY(y)； ② 由 fY(y) = F ′(y) , 求出 fY (y). 例3.设随机变量X的概率密度为fX(x)，求线性函数 Y=aX+b (a,b是常数，且a≠0) 的概率密度fY(y). 下页 解: 下页 由分布函数的性质知 即 解: 记Y的分布函数FY (y)，由y =x2 知 y∈[0,+∞) . 当 y＜0时，FY (y)=0 . 于是Y的概率密度为 下页 例4.设随机变量X具有概率密度fX(x)，求函数Y = X 2 的概率 密度. 当 y≥0时， 其中：a = Min[g(-∞),g(+∞)], b = Max[g(-∞),g(+∞)], h(y) 是 g(x) 的反函数. 下页 定理 设连续型随机变量X具有概率密度fX(x) ,－∞ x +∞, 又设函数y=g(x)处处可导且恒有g’(x)0(或恒有g’(x)0),则Y=g(X) 是连续型随机变量，其概率密度为 由于y=sin(x)在(-p/2, p/2)内处处可导，且sin’(x)0,则 Y= sin(X)是连续型随机变量，其概率密度为 下页 例5. 设X～U(-p/2, p/2)，求Y= sin(X)的概率密度. ( 注意：x=arcsin(y) ) 由y=g(x)=ax+b 解得 x=h(y)=(y-b)/a, 又g(x)可导且导数与a 同号， h’(y)=1/a, 从而得 即Y～N(am+b,(as)2). 须记住这个结果