2[1].3连续型随机变量.ppt

3.4 连续型随机变量 一、连续型随机变量 二、常见连续型分布 1. 均匀分布 2. 指数分布 3. 正态分布 * 一、连续型随机变量 二、常见连续型分布 设随机变量X的分布函数为F(x), 如果存在非负函数f(x), 使得对于任意 实数x,有 定义: 则称X为连续型随机变量,其中函数 f(x)称为X的概率密度函数,简称概率密 度 可知,连续型随机变量的分布函数 F(x)是整个实轴上的连续函数 若概率密度f(x)在点x连续, 则 F ?(x)=f(x) f(x)的性质: (1) f(x)≥0, ??x+? (2) P(x1X≤x2) (3) P(x1X≤x2)=F(x2) ?F(x1) x2 x o f(x) x1 这条性质是密度函数的几何意义 注: 对连续型随机变量X和任意实数a, 总有P(X=a)=0 即, 取单点值的概率为0 ∵ ?a及?? 0,有 又 得 P(X=a)=0 {X=a}?{a ?? X≤a} ?0≤P(X=a)≤P(a ?? X≤a) =F(a)?F(a?? ) 故: (1) P(A)=0 A是不可能事件 (2) 连续型随机变量X落在区间的概率 与区间是否包含端点无关 即: P(aX≤b)=P(a≤Xb) =P(aXb) =P(a≤X≤b) 例1 设连续型随机变量X的概率密度为 f(x)=Ae－|x| , ??x+? 试求: (1)常数A (2) P(0X1) (3) X的分布函数 解: (1) =2A=1 (2) P(0X1) (3) x0 x≤0 X的分布函数为: 综合得: 例2 设随机变量X的概率密度为 试求X的分布函数 解: 当x≤0时, =0 当0x≤1时, 当1x2时, 当x≥2时, =1 综上所述,可得随机变量X的分布函数: 试求: (1)系数A和系数B (2) X的概率密度 (3) 例3 设连续型随机变量X的分布函数为 解: (1) F(+?)=1 =A=1 右连续: 得: A=1, B= ?1 (2) =A+B =0 ? f(x)=F ?(x) (3) X的概率密度为: 称X服从区间[a,b]上的均匀分布 记为 X～U[a,b] 由上式求得X的分布函数: 若X～U[a, b], ?[c, c+l]?[a, b], 有: P(c≤X≤c +l ) 这说明: X落在[a,b]的子区间内的概率与子 区间的长度成正比,而与子区间的位置 无关 可见,落在长度相等的各个子区间 的可能性相等 例4 设随机变量X在(2,8)上服从均匀分 布,求二次方程y2+2xy+9=0有实根的概率 解: 方程有实根??=4x2 ?36≥0 ?x≥3或x≤?3 已知 P{有实根}=P{X≥3}+P{X≤?3} X的概率密度为: 称X服从参数为?的指数分布 由上式求得X的分布函数: 例5 某仪器装有三只独立工作的同型号 电子元件,其寿命(单位:小时)都服从同一 指数分布,概率密度为 试求: 在仪器使用的最初200小时内,至少 有一只电子元件损坏的概率 解: 以Xi (i=1,2,3)表示第i只元件的寿命 则Xi的概率密度为 以Ai (i=1,2,3)表示事件“在最初200小 时内,第i只元件损坏” 则A1, A2, A3相互独立 且 P(Ai)=P(0≤Xi≤200) (i=1,2,3) 所求概率为: P(A1∪A2∪A3) =1?[1?P(A1)][1?P(A2)][1?P(A3)] =1?e?1 正态分布是实践中应用最为广泛,在 理论上研究最多的分布之一,故它在概率 统计中占有特别重要的地位 X的概率密度为: 其中? ,? (? 0)为常数