2向量的正交规范化.ppt

一、内积的定义与性质 1、定义 设ｎ维实向量 称实数 为向量α与β的内积，记作 注：内积是向量的一种运算，用矩阵形式表示，有 ２、性质 （1）对称性： （2）线性性： （3）正定性： 当且仅当 时 １、长度的概念 二、向量的长度与夹角 令 为ｎ维向量α 的长度（模或范数）. 特别 长度为１的向量称为单位向量. （1）正定性： （2）齐次性： （3）三角不等式： ２、性质 （4）柯西－施瓦兹（Cauchy－Schwarz）不等式: 当且仅当α与β的线性相关时，等号成立. 注 ①当 时， ②由非零向量α得到单位向量 是α的单位向量. 称为把α单位化或规范化. 的过程 ３、夹角 设α与β为ｎ维空间的两个非零向量，α与β的夹 角的余弦为 因此α与β的夹角为 例 解 练习 三、正交向量组 1、正交 当 ，称α与β正交. 注 ① 若 　　，则α与任何向量都正交. ② ③ 对于非零向量α与β， 2、正交组 若向量组中的向量两两正交，且均为非零向量，则 这个向量组称为正交向量组，简称正交组. 3、规范正交组 由单位向量组成的正交组称为规范正交组. 定理 4、性质 正交向量组必为线性无关组. 5、正交基 若正交向量组 则称 为向量空间Ｖ上的一个正交基. 为向量空间Ｖ上的一个基， 6、规范正交基 若规范正交组 则称 为向量空间Ｖ上的一个规范正交基. 为向量空间Ｖ上的一个基， 7、施密特（Schmidt）正交化法 设 是向量空间Ｖ的一个基，要求向量空 间Ｖ的一个规范正交基，就是要找到一组两两正交的单 位向量 ，使 与 等价， 此问题称为把 这组基规范正交化. 1）正交化 令 则 两两正交，且与 等价. 就得到Ｖ的一个规范正交向量组. Ｖ的一组规范正交基. 如果 上述方法称为施密特（Schmidt）正交化法. 2）规范化 令 是Ｖ的一组基，则 就是 注 上述方法中的两个向量组对任意的 与 都是等价的. 四、应用举例 例1 证明：　中，勾股定理 成立 的充要条件是　　正交. 解 所以 成立的充要条件是 即　　正交. 已知三维向量空间中， 例2 正交， 试求 是三维向量空间的一个正交基. 解 设 则 即 例3 已知向量 求　的一个标准正交基. 解 设非零向量　　 都于　正交， 即满足方程 或 其基础解系为