2随机变量及其分布.ppt

利用 可以证明 ， 3 、正态分布 X的分布函数为 则称X服从参数为 的正态分布， 记为X~N（ ） 定义4 若随机变量X的概率密度为 其中 为常数，且 ， （1） 最大值在 x=μ处，最大值为 ; （3）曲线 y=f(x)在 处有拐点； 正态分布的密度函数f(x)的几何特征： （2） 曲线 y=f(x)关于直线 x= μ对称，于是对于任意 h0，有 ； （4）当 时，曲线 y=f(x)以 x 轴为渐近线 。 * * 第二章 随机变量及其分布 一、随机变量的一般概念 2.1 随机变量及其分布函数 定义1: 研究试验中一些我们所关心的事件发生的概率， 的事件，把这种对应关系称为随机变量。简记 r.v. 为方便起见，用一个数或一个区间来表示所关心 (random vaiable)。 用大写拉丁字母X,Y,Z, …或希腊字母 等表示。 二、随机变量的分布函数 设X是一随机变量，x为任意实数，函数 称为随机变量X的分布 函数，分布函数可简记为d.f.。 定义2: 例1： 口袋里装有3个白球2个红球，从中任取三个球， 求取出的三个球中的白球数的分布函数 解： 设X表示取出的3个球中的白球数。X的可能取值为1，2，3。而且由古典概率可算得 于是，X的分布函数为： 例2: 考虑如下试验：在区间[0，1]上任取一点，记录它的坐标X。那么X是一随机变量，根据试验条件可以认为X取到[0，1]上任一点的可能性相同。求X的分布函数。 当x0时 解 ： 由几何概率的计算不难求出X的分布函数 所以： 证明：略。 2.2 离散型随机变量及其分布 一、离散型随机变量及其分布律 分布律常用表格形式表示如下： X x1　　x2　…　xi… Ｐ　　p1　　p2　…　pi…　　 设X是一随机变量，如果X所有 的可能取值为 有限个或可列个，则称X为离散型随机变量， 这时X所有取值可写成 一列：x1，x2 ，…，xi ，… 设X为一离散型随机变量，X的可能取值为x1，x2，…，xi，…。称下面一组等式 为X的分布律。 定义３ 定义４ 分布律的两条 基本性质： （１）确定常数a的值 （２）求Ｘ的分布函数 因此 解：（１）由分布律的性质知 Ｘ　 ０　 １　 ２ Ｐ a （2）由分布函数计算公式易得Ｘ的分布函数为： 二 、 几种重要的离散型分布 X 0 1 P 1-p p 设离散型随机变量X的分布律为 其中0p1，则称X服从两点分布，亦称X服从（0－1）分布。简记为X~(0-1)分布。 若离散型随机变量X的分布律为 1、 两点分布 2、二项分布 定义５ 定义６ 其中0p1,q=1-p, 称X服从参数为n,p的二项分布，记为X~B(n,p)。 当n=1时，二项分布化为： P{X=k}=pkq1-k 　 (k=0,1 　q=1－p) 　　假设A在每次试验中出现的概率为p，将试验独立 重复做n次, 称为n重贝努里试验。若以X表示n次试验 中A出现的次数。那么X的分布律为： 即X服从二项分布。 （0－1）分布可用B(1，p)表示。 即为（0－1）分布。 例4 一位射手连续射击4次，且每次击中目标的概率 p=0.75，且各次射击相互独立。以X表示击中目标的 次数，求（1）X的分布律；（2）恰好击中3次的概率； （3）至少击中2次的概率。 在涉及二项分布的概率计算时，直接计算很困难时，可以采用近似计算。下面给出近似公式： 3、泊松(Poisson)分布 上式给出的概率满足：pk=P{X=k} ?0, 且 若离散型随机变量X的分布律为 则称X服从参数为λ的泊松分布，记为X~ P（λ）。 其中λ0为常数 定义7 泊松分布：描述稀有事件发生的概率。 例5 某公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼叫 的次数X服从参数为（1/2)t的泊松分布，而与时间 间隔的起点无关（时间以小时计）。 （1）求某天中午12时至下午3时没有收到紧急呼叫的 概率； （2）求某天中午12时至下午5时至少收到1次紧急呼叫的 概率。 （泊松逼近定理）设X~B(n, p)，又设np=λ （λ＞0是常数），则有 证明 定理１ 定理的条件np=λ，意味着n很大时候 p必定很小。 因此当n很大，p很小时有近似公式 其中λ=np。 在实际计算中，当 时用　　 （λ