3-12n维向量及其运算向量组的线性相关性.ppt

思考题 四、小结 思考题 思考题解答 因 中至少有一个不为0， 不妨设　　　则有 即 能由其余向量线性表示. 证毕. 定理3 说明 一. n维向量空间 分量为复数的向量称为复向量. 分量全为实数的向量称为实向量， 1. n 维向量 定义：n 个有次序的数 所组成的有序数组 称为一个n 维向量。 这 n 个数称为该向量的 n 个分量，第 个数 称为第 个分量。 以后我们用小写希腊字母 来代表向量。 例如： n维实向量 n维复向量 第1个分量 第n个分量 第2个分量 向量通常写成一行： 有时也写成一列： 称为行向量。 称为列向量。 分量全为零的向量 称为零向量。 2. 向量的运算和性质 向量相等：如果 n 维向量 的对应分量都相等，即 就称这两个向量相等，记为 向量加法：向量 称为向量 的和，记为 负向量：向量 称为向量 的负向量 向量减法： 数乘向量：设k为实数，向量 称为向量 与数k的数量乘积。记为 满足运算律： 注： （1）对任意的向量 存在唯一的零向量 使得 （2）对任意的向量 存在唯一的负向量 使得 （4）如果 则 （3） 　　确定飞机的状态，需 要以下6个参数： 飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z) 机身的水平转角 机身的仰角 机翼的转角 所以，确定飞机的状态，需用6维向量 维向量的实际意义 　　若一个本科学生大学阶段共修36门课程,成绩描述了学生的学业水平，把他的学业水平用一个向量来表示，这个向量是几维的？ 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组． 例如 一、线性表示 向量组 , , …， 　称为矩阵A的行向量组． 反之，由有限个同维的向量所组成的向量组可以构成一个矩阵. 线性方程组 向量间的线性运算关系： 方程1加方程2可以消去方程3， 说明方程3多余． 定义１ 任意一个n维向量a都能由n维单位坐标向量组 e1,e2,…,en线性表示. 定义2 设两个n维向量组 a1, a2, a3,……,as (II) b1, b2, b3, ……,bt 如果(I)组中每一个向量ai (i=1,2,…,s)都能由向量组(II)线性表示，则称向量组(I)可以由向量组(II)线性表示. 如果两个向量组可以相互线性表示，则称这两个向量组等价. 例如，对于向量组 a1=(1,0) , a2=(0,1) (II) b1=(1,1) , b2=(2,3) 易证 a1=3b1-b2 , a2= -2b1+b2 b1=a1+a2 , b2=2a1+3a2 由于这两个向量组能相互表示，因此它们等价 向量组的等价具有性质： 自反性 任一向量组与其自身等价. 对称性 若向量组(I)与(II)等价，则向量组(II)也与(I)等价. 3. 传递性 若向量组(I)与(II)等价，向量组(II)与(III)等价，则向量组(I)与(III)等价. 满足 注意 定义3 则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关． 二、线性相关性 方法　从定义出发 整理得线性方程组 三、线性相关性的判定 例１　研究下列向量组的线性相关性 解: 整理得到 线性相关性在线性方程组中的应用 解 例2 解 例3 证 定理2　向量组 （当 时）线性相关 的充分必要条件是 中至少有一个向 量可由其余 个向量线性表示． 证明 充分性 设 中有一个向量（比如 ）能由其余向量线性表示. 即有 故 因 这 个数不全为0， 故 线性相关. 必要性 设 线性相关， 则有不全为0的数　　　　　　使