3-1n维向量及其运算.ppt

* * 第三章 线性方程组 3.2 线性相关性 3.3 向量组的秩 3.4 矩阵的秩 3.5 齐次线性方程组 3.6 非齐次线性方程组 定义1：数域P上的n 个有次序的数 所组成的有序数组 称为数域P上的一个 n 维向量（vector), 其中 称为第 i 个分量。 以后我们用小写希腊字母 来代表向量。 而用小写拉丁字母 来代表数。 第一节 n 维向量及其运算 分量全为零的向量 称为零向量。 例: (1) n个未知量的任一齐次线性方程组的每一个解都是一个每一个解都是一个n维向量,且其几个解的线性组合仍是齐次线性方程组的解。 (2) 一个 m× n 矩阵的每一行都是一个 n 维向量,而它的每一列都是 m 维向量;反之，将 m 个 n 维向量按行排列，就可构成一个 m× n 矩阵。将 n个 m 维向量按列排列，就可构成一个m× n 矩阵。 定义2 如果 和 是两个 n 维向量，如果他们的对应分量都相等，即 , 则称向量a 和b 相等，记做:a = b 。 定义3 如果 和 是两个n 维向量,则a与b的和a + b为: 负向量：向量 称为向量的负向量; 向量的差: 数乘运算：设 k 为数域 P 中的数，向量 称为向量 与数 k 的数量乘积。记为 ka 。 数乘运算满足下列四条规则： 加法运算满足性质 注： 零向量和负向量是唯一的 加法的逆运算是减法。 线性运算：上述向量的加法及数乘运算称为向量的线性运算。 注： 满足上述 (1)–(8) 的运算称为线性运算。 例1 设 , ) 1 , 1 , 0 ( , ) 0 , 1 , 1 ( 2 1 T T v v = = T v ) 0 , 4 , 3 ( 3 = , 求 2 1 v v - 及 3 2 1 2 3 v v v - + . 解： 2 1 v v - T T ) 1 , 1 , 0 ( ) 0 , 1 , 1 ( - = T ) 1 0 , 1 1 , 0 1 ( - - - = T ) 1 , 0 , 1 ( - = ； . 例 2 ．设 ) ( 5 ) ( 2 ) ( 3 3 2 1 a a a a a a + = + + - 其中 T a ) 3 , 1 , 5 , 2 ( 1 = , T a ) 10 , 5 , 1 , 10 ( 2 = , T a ) 1 , 1 , 1 , 4 ( 3 - = , 求 a 解： 由 ) ( 5 ) ( 2 ) ( 3 3 2 1 a a a a a a + = + + - 整理得 ) 5 2 3 ( 6 1 3 2 1 a a a a - + = ] ) 1 , 1 , 1 , 4 ( 5 ) 10 , 5 , 1 , 10 ( 2 ) 3 , 1 , 5 , 2 ( 3 [ 6 1 T T T - - + = T ) 4 , 3 , 2 , 1 ( = 例3 设 ), 0 , 6 , 3 ( = a ), 2 , 4 , 1 ( - = b ), 1 , 0 , 1 ( - = g 计算 g b a + - 2 . 解 : = + - g b a 2 ) 0 , 6 , 3 ( ) 2 , 4 , 1 ( 2 - - ) 1 , 0 , 1 ( - + ) 5 , 2 , 6 ( - = .