3-1概率统计经典讲义.ppt

第三章 多维随机变量及其分布 理工大学理学院数理系计算数学教研室田作威 一维随机变量及其分布 多维随机变量及其分布 由于从二维推广到多维一般无实质性的 困难，我们重点讨论二维随机变量 . 本章内容是第二章内容的推广 到现在为止，我们只讨论了一维r.v.及其分布. 但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述. 在打靶时,命中点的位置是由一对r.v.(两个坐标)来确定的. 飞机的重心在空中的位置是由三个r.v. (三个坐标）来确定的等等. 设随机试验E的样本空间是Ω.X=X(?)和Y=Y(?)是定义在Ω上的随机变量,由它们构成的向量(X,Y),称为二维随机向量，或二维随机变量. 二维r.v.(X,Y)的性质不仅与X及Y的性质有关,而且还依赖于X和Y的相互关系,因此必须把(X,Y)作为一个整体加以研究. 为此,首先需要引入二维r.v.(X,Y)的分布函数的概念. §1 二维随机变量 设（X,Y）是二维r.v.，对于任意实数x, y，二元函数 称为二维r.v.(X, Y)的分布函数，或称为r.v.X和Y的联合分布函数. 一、定义 若把(X,Y)看成平面上随机点的坐标，则取定x,y? R1，F(x,y)就是点(X,Y)落在平面上的以(x,y)为顶点而位于该点左下方的无限矩形区域内的概率. y x (x,y) O 二、说明 　　由前面的几何解释知: 随机点(X,Y)落在矩形域 x1x≤x2,y1y≤y2 内的概率为 P{x1X≤x2 ,y1Y≤y2} =F(x2,y2)-F(x2,y1)- F(x1,y2)+F(x1,y1) 三、性质 2. ? x,y? R1 有 0≤F(x,y)≤1，且 1. F(x,y)是变量x和y的非减函数. 即 ?y?R1取定,当x1x2时, F(x1,y)≤F(x2,y). 同样, ?x?R1取定,当y1≤y2时, F(x,y1)≤F(x,y2). ?y?R1, F(-∞,y)=0， ?x?R1, F(x,-∞)=0， F(-∞,-∞)=0，F(∞,∞)=1 3. F(x,y)关于x右连续，关于y也右连续. F(x2,y2)-F(x2,y1)- F(x1,y2)+F(x1,y1)≥0 4. 对任意的(x1, y1)，( x2, y2)，x1x2, y1y2 为二维离散型r.v.(X, Y )的分布律，或r.v.X和Y的联合分布律. ,且有 四、二维离散型随机变量 如果二维r.v.(X,Y)的全部可能取到的不相同的值是有限对或可列无限多对，则称(X,Y)是二维离散型r.v.. 设二维离散型r.v.（X,Y）所有可能取的值为(xi, yj), i, j=1, 2, …,称 r.v.X和Y的联合分布律也可以用表格表示. : : … : : : … pij … p2j p1j yj : : … : : : … pi2 … p22 p12 y2 … pi1 … p21 p11 y1 … xi … x2 x1 Y X 二维离散型r.v.(X,Y)的分布函数为 设有10件产品,其中7件正品,3件次品.现从中任取两次,每次取一件,取后不放回.令: X=1： 若第一次取到的产品是次品. X=0： 若第一次取到的产品是正品. Y=1： 若第二次取到的产品是次品. Y=0： 若第二次取到的产品是正品. 求二维r.v.(X,Y)的分布律. 例 1 利用古典概型,得: P{X=0,Y=0}=(7?6)/(10?9)=7/15 P{X=0,Y=1}=(7?3)/(10?9)=7/30 P{X=1,Y=0}=(3?7)/(10?9)=7/30 P{X=1,Y=1}=(3?2)/(10?9)=1/15 解: (X,Y)所有可能取的值是 (0,0),(0,1),(1,0,),(1,1). 于是二维r.v.(X,Y) 的分布律为 1/15 7/30 1 7/30 7/15 0 1 0 X Y 五、二维连续型随机变量 设二维r.v.(X,Y)的分布函数为F(x,y)，若存在非负函数f(x,y),使得对任意实数x,y,有 则称(X,Y)为连续型二维随机变量，称f(x,y)为二维r.v.(X,Y)的概率密度,或称为r.v.X和Y的联合概率密度.. 二维连续型r.v.（X,Y）概率密度的性质 在 f (x,y)的连续点