3-2向量的线性相关性.ppt

三、线性相关性的概念 几个判定定理： 四、小结 思考题 另解： 定理3.5　向量组 （当 时）线性相 关的充分必要条件是 中至少有一个 向量可由其余 个向量线性表示． 证明 充分性 设 中有一个向量（比如 ）能由其余向量线性表示. 即有 故 因 这 个数不全为0， 故 线性相关. 必要性 设 线性相关， 则有不全为0的数　　　　　　使 因 中至少有一个不为0， 不妨设　　　则有 即 能由其余向量线性表示. 证毕. 如果一个向量组中部分向量线性相关，则 整个向量 组线性相关. 推论1 如果一个向量组线性无关，则任一部分组线性无关. 推论2 部分相关,则整体相关. 整体无关,则部分无关. 所以存在不全为零的实数 使得 定理3.6 则必有 假设不然,则有 ( 不全为零) 线性相关, 因为 证明 这与 线性无关矛盾. 从而对(1)式变形得 设有两种表示方法 唯一性: 两式相减，得 推论 例４ 证明： 定理3.7 低维无关,则高维无关 ; 高维相关,则低维相关. 定理3.8 证明 根据条件,可设 A B (反证法)假设s t,考虑方程组CX=0,则该方程组有非零解(方程个数小于未知量的个数). 于是 BCX=0,即AX=0有非零解,这说明 线性相关,矛盾. 记矩阵 推论2 推论1 　　１. 向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方 程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念； 　　２. 线性相关与线性无关的概念；线性相关性 在线性方程组中的应用；（重点） 　　３. 线性相关与线性无关的判定方法：定义， 定理．（难点） ２．课本P104第11题。 * * 第三章 向量组的线性相关性 中南财经政法大学信息系 定义 n个数a1,a2,…,an组成的一个有序数组 (a1,a2,…,an) 称为一个n维向量,记为 列向量 其中第i个数ai称为向量的第i个分量. 本书中向量一般指列向量. 行向量 一、 n维向量及其线性运算 基本单位向量组: 零向量: 0=(0,0,…,0)T 负向量: 向量相等: 设 若 则 称为 的负向量 向量组:一组同维的行向量(列向量),称为向量组； 定义 设 向量加法 向量数乘 向量的线性运算： 设 则 这两种运算满足以下八条运算规律: 向量加法、数乘两种运算,称为向量的线性运算. 对一般的线性方程组： 则线性方程组的矩阵形式为： 向 量 与 方 程 组 ——方程组的向量形式 向 量 与 矩 阵 显然,矩阵A既对应一个行向量组,又对应一 个列向量组: 其中 二、 向量的线性组合 定义3.1设 是s 个n维向量， 是任意s个常数， 表达式 称为这个向量组 的线性组合 . 若对对于向量 存在常数 使得 则称向量 可以由向量组 线性表示 或线性表出. (2) 向量组中任意向量可以由该向量组“线性表示”. (1) 零向量是任意向量组的“线性组合”. 例2 线性表示 、线性组合的例： (3) 若 则 任意n维向量可由n维基本单位向量组“线性表示”. 解 考虑 即非齐次线性方程组 对方程组的增广矩阵进行初等行变换,得 可见方程组有唯一解: 对矩阵B 进行初等行变换,得 继续用初等行变换将矩阵化为行最简形矩阵,可得 (c为任意常数) 若令c =0，有 定义3.2 若向量组(Ⅰ) 中每个向量均 可由向量组 (Ⅱ) 线性表示, 则称 向量组(Ⅰ) 可以由向量组(Ⅱ)线性表示.