3-3协方差、相关系数和大数定律.ppt

§ 3.3 协方差和相关系数 问题 对于二维随机变量(X ,Y ): 已知联合分布 边缘分布 对二维随机变量,除每个随机变量各自 的概率特性外, 相互之间可能还有某种联系, 问题是用一个怎样的数去反映这种联系. 数 反映了随机变量 X , Y 之间的某种关系 为 X ,Y 的协方差. 协方差和相关系数的定义 定义 称 无量纲 的量 为X ,Y 的 相关系数. 若 称 X ,Y 不相关. 称 若 ( X ,Y ) 为离散型， 若 ( X ,Y ) 为连续型， 协方差和相关系数的计算 求 cov (X ,Y ), ?XY 1 0 p q X P 1 0 p q Y P 例1 已知 X ,Y 的联合分布为 X Y pij 1 0 1 0 p 0 0 q 0 p 1 p + q = 1 解 1 0 p q X Y P 例2 设 u~ U(0,2?) , X=cos u , Y=cos( u+? ), ? 是给定的常数，求 ?XY 解 若 若 有线性关系 若 不相关， 但 不独立， 没有线性关系，但有函数关系 协方差的性质 协方差和相关系数的性质 相关系数的性质 即Y 与X 有线性关 系的概率等于1， 这种线性关系为 如例1中 X ,Y 的联合分布为 X Y pij 1 0 1 0 p 0 0 q 0 p 1 p + q = 1 已求得 , 则必有 其中 X , Y 不相关 X ,Y 相互独立 X , Y 不相关 若 ( X , Y ) 服从二维正态分布， X , Y 相互独立 X , Y 不相关 例3 设 X ,Y 相互独立, 且 E(X)=E(Y)=0, D(X)=D(Y)=? 2, U = aX + bY, V= aX - bY , a,b 为常数，且都不为零，求?UV 解 由 而 故 a,b 取何值时, U与V 不相关？ 此时, U与V 是否独立？ 继续 讨论 若 a = b，?UV = 0, 则 U , V 不相关. —— X 的 k 阶(原点)矩 —— X 的 k 阶中心矩 --X的二阶中心矩--X 的 方差 ——X 的1 阶(原点)矩 ——X的期望 矩和中心矩 §3.4 随机变量的另几个数字特征 设连续型随机变量X的分布函数为 定义 下? 分位数 的数 ，为此分布的下? 分位数. F(x)，概率密度为f(x), 则 称满足条件： x? ? 设连续型随机变量X的分布函数为 定义 上? 分位数 的数 ，为此分布的上? 分位数. F(x)，概率密度为f(x), 则 称满足条件： x? ? 设 X 是只取非负值的随机变量，且有数学期望E(X)，则 有 §3.5 切比雪夫不等式与大数定理 马尔可夫（Markov）不等式 设随机变量X 具有数学期望 E(X) 和方差 D(X)，则 有 切比雪夫（Chebyshev）不等式 或 当 ? 2? D(X) 无实际意义, 大数定律的思想： 概率论中用来阐明大量随机 现象平均结果稳定性的一系 列定理统称为大数定律 大数定律 定义：若存在常数a，使对于任何 有 则称随机变量序列 依概率收敛于a。 * *