3-3离散型随机变量.ppt

3.3、离散型随机变量 3.3.1、离散型随机变量及其分布律 一、离散型随机变量概率分布的定义 其中 (k=1,2, …) 满足： k=1,2, … （1） （2） 定义1 ：设xk(k=1,2, …)是离散型随机变量X所取的一切可能值，称 k=1,2,… … 为离散型随机变量X的概率函数或分布律，也称概率分布. 用这两条性质判断 一个函数是否是 概率函数 解: 依据概率函数的性质: P(X =k)≥0, 从中解得 这里用到了常见的 幂级数展开式 例1. 设随机变量X的概率函数为： k =0,1,2, …, 试确定常数a . 二、表示方法 （1）列表法： （2）公式法 X~ 三、举例 例2. 某篮球运动员投中篮圈概率是0.9，求他两次独立投篮投中次数X的概率分布，X的分布函数，P(X1.5)，P(X4)，P(X4). 解： X可取0、1、2为值 P(X =0)=(0.1)(0.1)=0.01 P(X =1)= 2(0.9)(0.1) =0.18 P(X =2)=(0.9)(0.9)=0.81 且 P(X =0)+ P(X =1)+ P(X =2)=1 常常表示为： 这就是X的概率分布. 其余的呢？ 3.3、离散型随机变量 3.3.2、几种常见的离散型随机变量 用X表示n重贝努里试验中事件A（成功）出现的次数，则 称r.vX服从参数为n和p的二项分布，记作 X~B(n,p) 当n=1时， P(X=k)=pk(1-p)1-k,k=0,1 称X服从0-1分布 1、二项分布 例3 已知100个产品中有5个次品，现从中 有放回地取3次，每次任取1个，求在所取的3个中恰有2个次品的概率. 解: 依题意，每次试验取到次品的概率为0.05. 设X为所取的3个中的次品数， 于是，所求概率为： 则 X ~ B (3, 0.05)， 注：若将本例中的“有放回”改为”无放回”，那么各次试验条件就不同了，不是贝努里概型，此时，只能用古典概型求解. 例4 某类灯泡使用时数在1000小时以上 的概率是0.2，求三个灯泡在使用1000 小时以后最多只有一个坏了的概率. 解: 设X为三个灯泡在使用1000小时已坏的灯泡数 . X ~ B (3, 0.8)， 把观察一个灯泡的使用 时数看作一次试验, “使用到1000小时已坏” 视为“成功”.每次试验, “成功”的概率为0.8 P(X 1) =P(X=0)+P(X=1) =(0.2)3+3(0.8)(0.2)2 =0.104 对于固定n及p，当k增加时 ,概率P(X=k) 先是随之增加直至 达到最大值, 随后单调减少. 二项分布的图形特点： X~B(n,p) 当(n+1)p不为整数时，二项概率P(X=k)在k=[(n+1)p]达到最大值；称k为最可能成功次数。 ( [x] 表示不超过 x 的最大整数) n=10,p=0.7 n Pk 对于固定n及p，当k增加时 ,概率P(X=k) 先是随之增加直至 达到最大值, 随后单调减少. 二项分布的图形特点： X~B(n,p) 当(n+1)p为整数时，二项概率P(X=k)在k=(n +1)p和k =(n+1)p-1处达到最大值. n=13,p=0.5 Pk n 0 二项分布的泊松近似 当试验次数n很大时，计算二项概率变得很麻烦，如教材例4中，要计算 或诸如此类的计算问题，必须寻求近似方法. 定理的条件意味着当 n很大时，pn 必定很小. 因此，泊松定理表明，当 n 很大，p 很小时有以下近似式： 泊松定理 设 是一个正整数， ，则有 其中 n 100, np 10 时近似效果就很好 实际计算中， 其中 可将问题略为转换一下，仍然可以应用泊松近似. 当 n很大时，p不是很小，而是很大( 接近于1)时， 下面我们看一个应用例子. 例5 为保证设备正常工作，需要配备适量的维修人员 . 设共有300台设备，每台的工作相互独立，发生故障的概率都是0.01.若在通常的情况下，一台设备的故障可由一人来处理 . 问至少应配备多少维修人员，才能保证当设备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01? 解：设X为300台设备同时发生故障的台数， X~B(n,p)，n=300, p=0.01 设需配备N个维修人员， 所求的是满足 P(XN) 0.01的最小的N. P(XN) n大,p小,np=3, 用 =np=3 的泊松近似 即至少需配备8个维修人员. 查书末的泊松分布表得 N+1