3-4随机向量的函数的分布.ppt

返回 上页 下页 结束 §3.4 随机向量函数的分布 一.随机变量 二.和的分布 三.几个分布的再生性 和 的分布 一. 随机变量 问题. X和Y是两个相互独立的随机变量, 它们的分布 函数分别为 与 求 和 的分布 与 的分布函数. 对于任意实数z, 的分布函数为 由X和Y的独立性可知 同理, 的分布函数为 即有 例1 离散型随机向量(X,Y )的概率分布律为 Y X 0 1 2 2/9 1/9 2/9 1/9 2/9 1/9 0 1 (1) 求 的分布函数与分布律; (2) 求 的分布函数与分布律. (P72, 例19) 例2. 设系统L是由两个独立工作的电子元件 和 联接而成, 和 的寿命分别为X和Y, 它们的 概率密度分别为 其中 分别就串联与并联方式求系统 的寿命Z的概率密度. (P73, 例20) (1)串联方式, 于是 的分布函数为 系统寿命为 随机变量X和Y的分布函数分别为 的概率密度函数为 (2)并联方式, 的分布函数为 系统寿命为 的概率密度函数为 二. 和的分布 问题. 设相互独立的连续型随机变量X和Y的概率密度 函数分别为 与 求 的概率密度 函数. 由X和Y的独立性可知: 连续型随机向量(X,Y)的概率 密度函数为 对于任意的实数z, 由分布 函数的定义知 将二重积分化为累次积分得 上式两端关于z求导得 由X和Y的对称性可得 (1),(2)两个公式称为卷积公式, 可记为 即 例3. 设系统L是由两个独立工作的电子元件 和 联接而成(如图所示), 和 的寿命分别为X和Y, 它们的概率密度分别为 其中 求系统的寿命Z的概率密度. (P73, 例22) 解 系统寿命为 利用卷积公式, Z的概率密度 函数为 当且仅当 和y0, 即yz且y0时, 上述积分 的被积函数不为零. 因此, 当 时, 当 时, 综上所述, 随机变量Z的概率密度函数为 例4 设离散型随机向量(X,Y)的概率分布为 Y X 0 1 2 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 0 1/6 0 0 0 1 2 求 的分布律与分布函数. (P77, 例24) 三. 几个分布的再生性 例4 设X和Y是两个相互独立的随机变量,它们都服从 N(0,1)分布, 求 的概率密度. 解 由假设知, 随机变量X和Y的密度函数分别为 于是,由卷积公式有 即 二元正态随机变量具有下面性质, 设 (1) (2) 和 相互独立, 则对于任意的实数a和b(至少有一个不为零), 有 正态分布的再生性 泊松分布的再生性 设 且 和 相互独立, 则 二项分布的再生性 (1) (2) 与 相互独立, 则 设 作业 P82 习题三 1; 6; 12; 20; 21; 24 * 返回 上页 下页 结束 *