3-测试第二章信号描述-FFT.ppt

f.时域卷积定理 如果 则 华北电力大学机械工程学院 测试技术 * 第三节 非周期信号的频域描述 非周期信号是时间上不会重复出现的信号，一般为时域有限信号，具有收敛可积条件，其能量为有限值。这种信号的频域分析手段是傅立叶变换。 公式: 或 傅里叶变换（FT） 傅里叶反变换 (IFT) 傅里叶变换与傅里叶反变换构成一对 傅里叶变换对 x(t) FT IFT X(f) 由傅里叶级数到傅里叶变换 非周期信号按照定义不能按傅里叶级数分解成许多正(余)弦谐波之和，但为了了解其频域描述， 可援引周期信号的方法加以解决，即将一非周期信号仍当作周期信号处理， 认为其周期趋于无穷大。 设x(t)为周期信号在(-T/2, T/2)区间内傅里叶展开式为 其中 将Cn代入，得 相邻谐波谱线间的频率增量 改写上式 式中，n取整数0，±1，±2…，因而各谐波频率nω0只能取离散值； 若T→∞，则Δω→0， 原来只能取离散值的谐波频率nω0变为可连续取值的连续变量ω。 在数学上，T→∞就意味着上式中 将ω=2πf代入上式得 避免了在傅里叶变换中出现1/2π的常数因子 傅里叶变换 傅里叶积分存在条件是：  　　(1) x(t)在有限区间上满足狄里赫条件；  　　(2) 积分　　　　　收敛，即x(t)在无限区间上绝对可积。 　　周期信号可以通过傅里叶级数分解成为无限多项谐波的代数和。与此类似，非周期信号则可通过傅里叶积分 “分解” 成 “无限多项谐波” 的积分和。从所起的作用看，傅里叶积分与傅里叶级数类似。 由于非周期信号的周期T?∞，基频f?df，它包含了从零到无穷大的所有频率分量，各频率分量的幅值为X(f)df，这是无穷小量，所以频谱不能再用幅值表示，而必须用幅值密度函数描述。 另外，与周期信号不同的是，非周期信号的谱线出现在0,fmax的各连续频率值上，这种频谱称为连续谱。 X(f)为x(t)的频域描述,是复函数 幅值谱 相位谱 例1． 求矩形窗函数 的频谱 特点：1 非周期信号的频谱是连续谱 2 幅值谱是单位频宽上的幅值 3 时域有限，谱域无限 4一般,随频率值增大,对应的幅值逐渐降低(特殊情况下不成立) 提示:由欧拉公式： 波形 sinc 函数 三、 傅立叶变换的主要性质 三、 傅立叶变换的主要性质 a. 奇偶虚实性 　 b. 线性叠加性 c. 对称性 d. 时间尺度改变性 e. 时移性 时域卷积定理：时间函数卷积的频谱等于各个时间函数频谱的乘积，既在时间域中两信号的卷积，等效于在频域中频谱中相乘。 主要性质的证明P13-16 互易对偶性质(对称性) 时间展缩性质 例子：求下图波形的频谱 + X1(f) X2(f) 用线性叠加定理简化 线性叠加性 例2．单位脉冲函数(δ函数) 　　1) δ函数的定义 　　在数学上，如果函数sε(t)仅在区间［0, ε］上具有脉冲样图形(矩形脉冲、 三角形脉冲等)， 并且此图形与t轴围成的面积为1， 如图5.14(a)所示， 那么当脉冲宽度ε→0时， 函数sε(t)的极限称为δ函数。 根据此定义不难看出δ函数有如下特点： t=0 　　2) δ函数的采样性质 　　若x(t)为一时域连续信号，则乘积δ(t)x(t)仅在t=0处得到δ(t)x(0)，其余均为零，于是 　 可见δ(t)与x(t)相乘后积分， 其作用就是取出了信号x(t)在t=0时刻的一个值， x(0)为一个采样点。 　　同样，对有延时的δ函数δ(t-t0)，其值仅在t=t0时刻才不为零， 于是 此时，得到了x(t)在t=t0时刻的一个采样点x(t0)。  　　在工程上，利用单位脉冲函数的概念， 可将采样过程看成是信号与单位脉冲函数的简单乘积。 　　3) δ函数与其它函数的卷积 　　 同样: 卷积定义 δ函数与其它函数的卷积 重要结论： 任意函数和δ函数的卷积， 就是简单地将该函数在自己的横轴上平移到δ函数所对应的位置 函数与δ函数的卷积 4) δ函数的频谱 将δ函数进行傅里叶变换，即可得到其频谱函数： 　　由此可见，时域的脉冲信号具有无限宽广的频谱， 而且各频率上的信号强度都相等。 在信号的检测中， 一般爆发电火花地方(如雷电、 火花塞等)都会对测试系统引起严重干扰， 这是因为尖脉冲(类似δ函数， 能量均匀地分布在0~∞的频带内)的高频部分以射频形式发射出来，对测试系统形成干扰的缘故。 凡是频谱为常数的信号俗称白噪声。 “白” 是由白色光引申而来， 意即白色的光谱频率丰富。 δ脉冲就是一种理想的白噪声。 　　根据傅里叶变换的对称性、时移