3.1-3.3二维随机向量.ppt

一般地, 将随机试验涉及到的 n 个随机量 X1, X2 , …, Xn 放在一起，记成 (X1, X2 , …, Xn )，称 n 维随机向量 (或变量)。 内容小结及基本要求 1.分布函数的定义及其性质； 2.会写出较简单的二维离散型随机向量的分布律； 3.二维连续型随机向量密度函数的性质，密度函数与分布函数之间的关系式，已知密度函数，会求参数、会计算随机点落在平面任一区域的概率； 4.掌握两个常用分布（尤其是二维均匀分布）. 预习：§3边缘分布+§4 随机变量的独立性 第三章 随机向量 有些随机现象只用一个随机变量来描述是不够的，需要用几个随机变量来同时描述。 3. 导弹在空中位置——坐标 (X, Y, Z)。 1. 某人体检数据——血压X和心律Y； 例如： 2. 钢的基本指标——含碳量 X，含硫量 Y和 硬度 Z ； 由于从二维随机向量推广到多维随机向量并无实质性困难，所以，我们着重讨论二维随机向量。 3.1 二维随机向量及其分布函数 设试验E的样本空间为Ω，X与Y是定义在Ω上的两个随机变量, 由它们构成的向量 (X, Y) 称为二维随机向量。 二维随机向量(X, Y)的性质不仅与X 和Y 的性质有关，而且还依赖于X和Y之间的相互关系。因此，必须把(X, Y)作为一个整体来看待，加以研究。 为此，首先引入二维随机向量(X, Y)的分布函数的概念。 定义二维随机向量(X, Y) 的分布函数为 取定x0,y0?R =(-∞,∞), F(x0,y0)就是点(X,Y)落在平面上，以(x0,y0)为顶点，且位于该点左下方无限矩形区域上的概率。 如果将 (X, Y) 看成平面上随机点的坐标。 由上面的几何解释， 易见: 随机点(X, Y)落在矩形区域: x1X≤x2, y1Y≤y2 内的概率为 P{x1X≤x2 , y1Y≤y2} =F(x2, y2)-F(x2, y1)- F(x1, y2)+F(x1, y1). 说明 (1).有界性： 0≤F(x, y)≤1，且 ? y?R, F(-∞, y)=0， ? x?R, F(x, -∞)=0， F(-∞, -∞)=0，F(∞, ∞)=1. 其中 二维分布函数F(x, y)的基本性质 (2).单调性：F(x, y)是变量 x,y 的非减函数， 即 ? y?R 给定，当 x1 x2 时， F(x1, y)≤F(x2, y). 同样, ?x?R 给定，当y1y2时, F(x, y1)≤F(x, y2). (3).右连续. §3.2 二维离散型随机向量 如果随机向量 (X, Y) 的每个分量都是离散型随机变量，则称 (X, Y) 是二维离散型随机向量。 二维离散型随机向量 (X, Y) 所有可能取的值也是有限个，或可列无穷个。 1.二维离散型随机向量的概率分布 联合概率分布律也可以用表格表示。 表3. 1 2.二维离散型随机向量的分布函数 设二维离散型随机向量 (X, Y) 的概率分布为 P{X=xi, Y= yj }=pij， i=1, 2, ?, j=1, 2, ? . 于是, (X, Y) 的分布函数为 注意： 例1：将两个球等可能地放入编号为1， 2 ，3的盒子中，以X表示放入1号盒子中的球数,Y表示放入2号盒子中的球数，求X与Y的联合分布律及P{X=Y}. 解:X的可能取值为：0，1，2 Y的可能取值为：0，1，2 由此得X与Y的联合分布律为: 例2：将一枚均匀硬币掷3次，以X表示正面出现的次数，Y表示正面出现的次数与反面出现的次数之差的绝对值，试求X与Y的联合分布律. 解： X=0，1，2，3，且X～B(3,1/2). Y=1，3. 由此得X与Y的联合分布律为 1. 二维连续型随机向量 设二维随机向量(X, Y)的分布函数为F(x, y)，如果存在一个非负函数f(x,y),使得对任意实数 x,y, 有 则称(X,Y)为连续型随机向量,f(x,y)为(X,Y)的 概率密度函数, 简称概率密度。或称为X与Y的 联合概率密度.. §3.3 二维连续型随机向量 注：密度函数的性质 连续型随机变量 X 的概率密度: 连续型随机向量 (X,Y) 的联合概 率密度: 解: (1). 由 例 1：设(X,Y)的联合概率密度为 其中A是常数。