3.1.1空间向量及其加减法.ppt

* * 如图，一正三角形钢板，三顶点用等长的绳子绑起，在力F的作用下静止，三绳子的受力情况如何？ F 一．创设情境 通过这个实验，我们发现三角形 钢板受到的三个力的特点是： （1）三个力不共面， （2）三力既有大小又有方向，但不在同一平面上。 所以解决这类问题，需要空间知识，而这种不在同一平面上的既有大小，又有方向的量，我们称之为“空间向量”。这就是我们今天所研究的内容：“空间向量及其加减运算” F 向量：既有大小又有方向的量 A B a 长度为0的向量，记为 ； 1.定义 2.表示方法 3.模（大小） 4.其它向量 相等向量： 相反向量： 方向相同或相反的非零向量叫平行向量. （共线向量）： 二．温故知新 (一）平面向量的有关概念 单位向量： 零向量： 长度为1的向量. 平行向量： 1.向量加法三角形法则: 特点:首尾相接，首尾连 特点:共起点 B A O 特点：共起点，连终点，方向指向被减数 2.向量加法平行四边形法则: 3.向量减法三角形法则: （二）平面向量的加法、减法法则及其几何意义 （三）平面向量的加法运算律 加法交换律： 加法结合律： 凡涉及空间两个向量的问题，平 面向量中有关结论是否仍适用？ 新课讲授 阅读教材P84-P85 ，研究空间向量与平面向量 的关系。回答下面的问题： （1） 试说出：空间向量与平面向量有何共同之处？ （2） 空间任意两个向量是否可能异面？为什么？ （3）把平面向量的运算推广到空间向量，怎样定义 空间向量的加法，减法运算？满足什么运算律？ （5） 什么是平行六面体？它与平行四边形有何联系？它的特征有哪些？ （4）从平面和空间两个角度验证向量加法结合律? （1）空间向量与平面向量有何共同之处是： 1、定义： 在空间，我们把既有大小又有 方向的量叫做空间向量。 2、空间向量的表示法（几何、字母） 与平面向量相同； 3、空间中零向量、单位向量、相等向 量、相反向量等概念与平面向量中相同； …… 空间中，任意两个向量是否可能异面？ A B C D A’ B’ C’ D’ M b 探究: （2） 空间任意两个向量都可以转化为平面向量。 由O、A、B、三点确定一个平面 或共线可知， 已知空间两个任意向量 、 作 O A B 空间任意两个向量都 可用同 一平面内的有向线段表示。 结论1：凡涉及空间两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们。 O A C B （3）与平面向量运算一样，我们定义 空间向量的加法、减法运算如下： 空间向量加法的推广: （1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量； （2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量. 加法交换律： 加法结合律： 同样，空间向量的加法运算满足如下运算律： a b c O B C a b + a b c O B C b c + (平面向量) （4）平面向量加法结合律： a b + c + ( ) a b + c + ( ) A A a b c O A B C a b + a b c O A B C b c + （4）空间向量加法结合律： (空间向量) a b + c + ( ) a b + c + ( ) A B C D A1 B1 C1 D1 a 平行六面体ABCD-A1B1C1D1的六个面都是平行四边形。 （5）平行六面体 定义1：底面是平行四边形的四棱柱。 定义2：平行四边形ABCD按向量 平移到 A1B1C1D1的轨迹形成的几何体叫做平行六面体. 例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列 向量表达式 (如图) A B C D A1 B1 C1 D1 问题（7）：一般地，三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关系？ 典例剖析： F1 F2 F1=10N F2=15N F3=30N F3 结论2：始点相同的三个不共面的向量之和，等于 以这三个向量为棱的平行六面体的公共始点为始 点的对角线所示向量。 ——平行六面体法则 思考1：在例1中 思考2： A B C D A1 B1 C1 D1 平面向量 概念 加、 减法 运算 运 算 律 定义 表示法 相等向量 减法:三角形法则 加法:平行四边形法则 或三角形法则 空间向量 加法交换律 加法结合律 小结 类比方法 数形结合思想 零向量 相反向量 减法:三角形法则 加法:平行四边形法则 或三角形法则 不共面的三个向量的和： 平行六面体法则