3.1.1空间向量及其加减运算今天用董金臣.ppt

从建筑物上找向量的影子 * 起点 终点 复习回顾： 平面向量 2、平面向量的加法、减法与数乘运算 向量加法的三角形法则 a b 向量加法的平行四边形法则 b a 向量减法的三角形法则 a b a － b a ＋ b a (k0) k a (k0) k 向量的数乘 a 3、平面向量的加法、减法与数乘运算律 加法交换律： 加法结合律： 数乘分配律： 推广: （1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量； （2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量。 一个质量分布均匀的正三角形钢板，重量为500N,在它的三个顶点处同时受力，每个力与它相邻的三角形两边之间的夹角都是60o，且大小均为200N，问钢板将如何运动？ F1 F2 F3 500kg 可以发现：这个问题中的三个力F1、F2、F3是既有大小又有方向的量，它们是不在同一平面内的向量。因此解决这个问题需要空间向量的知识。 → → → 在空间里既有大小又有方向的量叫做空间向量。 1、空间向量 2、长度或模 在空间里既有大小又有方向的量 3、向量的表示方法 向量的大小叫做向量的长度或模 用有向线段进行表示，记作a或AB → → 起点 终点 6、相反向量 7、相等向量 4、零向量 5、单位向量 长度为0的向量 长度为1的向量 长度相同而方向相反的向量 长度相同而且方向也相同的向量 注意：这些概念和平面向量都是一样的哦！ A B B 零向量的方向是任意的 思考：如何理解零向量的方向？ a b a b O A B b 结论：空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内， 内，成为同一平面内的两个向量。 思考：平面是否唯一？ 探究一：空间任意两个向量是否都可以平移到同一平面内？为什么？ O′ 结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用同一平面内的两条有向线段表示。因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有 关结论仍适用于它们。 a b a b a b + O A B b C 探究二：空间向量如何进行加减运算？ a b a b a b + O A B b C 空间向量加法交换律： 探究三：空间向量的加法是否满足交换律？ b + a a + b = a b c O A B C a b + a b c O A B C b c + a b + c + ( ) a b + c + ( ) 空间向量的加法是否满足结合律？ = 加法交换律： 加法结合律： 2、空间向量的加法的运算律： a + b = b + a (a + b)+c = a +(b + c) 1、空间向量的加减运算 加法：三角形法则和平行四边形法则 减法：三角形法则 新课讲授 新课讲授 新课讲授  例如: 定义: 我们知道平面向量还有数乘运算. 类似地,同样可以定义空间向量的数乘运算,其运算律是否也与平面向量完全相同呢? 显然,空间向量的数乘运算满足分配律及结合律 例1、给出以下命题： （1）两个空间向量相等，则它们的起点、终点相同； （2）若空间向量 满足 ，则 ； （3）在正方体 中，必有 ； （4）若空间向量 满足 ，则 ； （5）空间中任意两个单位向量必相等。 其中不正确命题的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 C 变式：如图所示，长方体中 （1）写出与向量 相等的其余向量； （2） 写出与向量 相反的向量。 A1 D1 C1 B1 B A C D 例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量 表达式，并标出化简结果的向量。(如图) A B C D A1 B1 C1 D1 A B C D A B C D A1 B1 C1 D1 A B C D a 平行六面体：平行四边形ABCD平移向量 到A1B1C1D1的轨迹所形成的几何体. a 记做ABCD- A1B1C1D1 例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量 表达式，并标出化简结果的向量。(如图) A B C D A1 B1 C1 D1 G M 始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量 为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量 F1 F2 F1=10N F2=15N F3=15N F3