3.1.2 空间向量的数乘运算.ppt

第三章 空间向量与立体几何 3.1.2 空间向量的数乘运算 问题2：平面向量中， * * 回 顾 a O B b 结论：空间任意两个向量都可平移到同一个平面内，成为同一平面内的向量. 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们. b a 一、空间向量数乘运算 1.实数 与空间向量 的乘积 仍然是一个向量. 当 时， 当 时， 与向量 方向相同； 与向量 方向相同； 是零向量. 当 时， （1）方向： （2）大小： 的长度是 的长度的 倍. 2.空间向量的数乘运算满足分配律及结合律 的充要条件是：存在唯一 的实数 ，使 能否推广到空间向量中呢？ 问题1：若 则 所在直线有那些位置关系? 零向量与任意向量共线. 二、共线向量:如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量(或平行向量),记作 由此可判断空间中两直线平行或三点共线问题 共线向量定理: 对空间任意两个向量 ， ， 的充要条件是存在唯一实数λ， 使 性质 判定 如图，l 为经过已知点A且平行已知非零向量 的直线， a 对空间任意一点O, 所以 即 若在l上取 则有 ①和②都称为空间直线的向量表示式，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量唯一决定. 由此可判断空间任意三点共线。. a l A B P O 若点P是直线l上任意一点，则 由 知存在唯一的t, 满足 ① ② 因为 所以 特别的，当t= 时， 则有 a A B P O 进一步， t 1-t P点为A,B 的中点 练习1.对于空间任意一点O，下列命题正确的是： A.若　　　　　　，则P、A、B共线 B.若　　　　　　，则P是AB的中点 C.若　　　　　　，则P、A、B不共线 D.若　　　　　　，则P、A、B共线 A、B、P三点共线 A O A B P 三、共面向量: 1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量. 注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量 既可能共面，也可能不共面 d b a c 由平面向量基本定理知，如果 ， 是平面内的两个不共线的向量，那么 对于这一平面内的任意向量 ，有且只有一对实数 ， ，使 如果空间向量 与两不共线向量 ， 共 面，那么可将三个向量平移到同一平面 ，则 有 那么什么情况下三个向量共面呢？ 反过来，对空间任意两个不共线的向量 ， ，如果 ，那么向量 与向量 , 有什么位 置关系？ C 2.共面向量定理：如果两个向量 ， 不共线， 则向量 与向量 ， 共面的充要条件是 存在实数对x,y使 推论:空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有 序实数对x,y使 C 对空间任一点O,有 填空： 1-x-y x y C ③ 式称为空间平面ABC的向量表示式，空间中任意平面由空 间一点及两个不共线的向量唯一确定. ③ 由此可判断空间任意四点共面 练习2.若对任一点O和不共线的三点A、B、C， 且有 则x+y+z=1 是四点P、A、B、C共面的（ ） A.必要不充分条件 C.充要条件 B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 C P与A,B,C共面 解析：由共面向量定理知，要证明P、A、B、C四点共面，只要证明存在有序实数对（x,y）使得 例1.　已知A、B、C三点不共线，对于平面ABC外的任一点O，确定在下列各条件下，点P是否与A、B、C一定共面？