3.1.2空间向量的数量积运算167.ppt

* 3.1.3空间向量的数量积运算 W= |F| |s| cos? 平面两向量的数量积运算. 解决有关长度和角度问题. 回 顾 1)两个向量的夹角的定义: O A B 知 新 空间向量的数量积 两个向量的夹角是惟一确定的！ 2）两个向量的数量积 注:①两个向量的数量积是数量，而不是向量; 　 ②规定:零向量与任意向量的数量积等于零. A1 B1 B A A1 B1 B A 数量积 等于 的长度 与 在 的方向上的投影 的乘积。 3)空间两个向量的数量积性质 注：性质② 是证明两向量垂直的依据； 　 性质③是求向量的长度（模）的依据. (4)空间向量的数量积满足的运算律 A D F C B E 解： 5. 另外,空间向量的运用还经常用来判定空间垂直关系,证两直线垂直线常可转化为证明以这两条线段对应的向量的数量积为零. 向量数量积解决立体几何中的以下问题： 1.证明两直线垂直; 2.求两点之间的距离或线段长度; 3.证明线面垂直; 4.求异面直线所成角的余弦值等等. 知识要点2 例1 例1答案 例1答案2 例1 例1答案2 * 如图,已知两个非零向量,在空间任取一点,作,,则角叫做向量与的夹角,记作:. ⑴范围:. =0时,同向; =π时,反向. ⑵， 已知空间两个非零向量,则叫做的数量积,记作. 即. 类比平面向量,你能说出的几何意义吗? 如图是在方向上的射影向量. 显然,对于非零向量,是单位向量有下列性质: ①； ② ③也就是说. ⑴ ⑵(交换律) ⑶(分配律) 1., 则的夹角大小为_____. 3.设,,是任意的非零空间向量,且相互不共线, 则： ①(·)·(·)·=0 ②||-|||| ③(·)·(·)·不与垂直 ④(3+2)·(32)=9||2- 42中,真命题是( ) (A)①② (B)②③ (C)③④ (D)②④ 4.已知向量满足,则_____. D 1 练6.如图，在空间四边形中，，，，，，，求与的夹角 解：∵， ∴ ∴， ∴与的夹角为． 说明：由图形知向量的夹角时易出错，如易错写成，注意推敲！ ⑶如果,则称与垂直,记为 的几何意义 对于三个均不为0的数,a,b,c,若ab=ac,则b=c.对于向量,,,由能得到吗？如果不能，请举出反例. 不能，例如向量与向量，都垂直时，有，而未必有. 对于三个均不为0的数,a,b,c,若ab=c,则.(或)对于向量,,若能否写成(或)？也就是说向量有除法吗？ 不能，向量没有除法. 对于三个均不为0的数,a,b,c,若(ab)c=a(bc),.对于向量,,,成立吗？也就是说，向量的数量积满足结合律吗？ 不成立，左边是一个与向量共线的向量，右边是一个与向量共线的向量，而向量与不一定共线. 2.判断真假: 1)若则 ( ) 法二:由 代入求得=-2. ∴ 得1. 法三:数形结合法,发现形的特殊性. 例2.已知向量，向量与的夹角都是， 且，下列各式的值： （1）；（2）；（3）.