3.1.3空间向量数量积应用.ppt

空间向量数量积的应用 [例1]　 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中， 求异面直线A1B与AC所成的角． [归纳生成]　 求异面直线所成的角的关键是求异面直线上两向量的数量积，而要求两向量的数量积，必须把所求向量用空间的一组基向量来表示． [例2]　已知空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC.M、N分别是OA、BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC. [归纳]　 a⊥b?a·b＝0，事实上， 用向量法证线线垂直问题是向量的数量积的应用． 已知：在空间四边形OABC中(如图)，OA⊥BC，OB⊥AC，求证：OC⊥AB. 已知：在空间四边形OABC中(如图)，OA⊥BC，OB⊥AC，求证：OC⊥AB. 命题方向：距离问题 例3.已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且两两夹角为60°，则AC1的长是多少？ 变式：如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求B、D间的距离． 空间向量运算的坐标表示 二、距离与夹角的坐标表示 空间向量与立体几何 立体几何中的向量方法 直线的方向向量与法向量 向量法证两直线平行与垂直 求空间角 求空间距离 向量距离 空间向量 及其运算 空间向量的 加减运算 空间向量的 数乘运算 空间向量的 数量积运算 空间向量的 坐标运算 共线向量 定理 共面向量 定理 平行与垂直的条件 空间向量 基本定理 向量夹角 第六部分 立 体 几 何 与 空 间 向 量 退出 上一页 3.1.4 空间向量的正交 分解及其坐标表示 平面向量基本定理： 平面向量的正交分解及坐标表示 x y o 【温故知新】 二、空间直角坐标系 单位正交基底：如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底,常用e1 , e2 , e3 表示 空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底 e1,e2,e3 ,以点O为原点，分别以e1,e2,e3的正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴.这样就建立了一个空间直角坐标系O--xyz 点O叫做原点，向量e1,e2,e3 都叫做坐标向量.通过每两个坐 标轴的平面叫做坐标平面。 x y z O e1 e2 e3 给定一个空间坐标系和向量 ,且设e1,e2,e3为坐标向量，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x,y, z)使 p = xe1+ye2+ze3 有序数组( x, y, z)叫做p在空间直角坐标系O--xyz中的坐标，记作.P=(x,y,z)其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标. 三、空间向量的直角坐标系 x y z O e1 e2 e3 , 则 设 一、向量的直角坐标运算 若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 则 AB = OB-OA=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1) =(x2-x1 , y2-y1 , z2-z1) 空间一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个 向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. 1.距离公式 （1）向量的长度（模）公式 注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。 在空间直角坐标系中，已知　　　　　　、 　　　　，则 （2）空间两点间的距离公式 2.两个向量夹角公式 注意： 　（1）当　　　　　　 时，　　　同向； 　（2）当　　　　　　 时，　　　反向； 　（3）当　　　　　　 时，　　　。 解：设正方体的棱长为1，如图建 立空间直角坐标系　　　　，则　　　　 例1　如图, 在正方体　　　　　　　中，　　　 　　　　　，求　　与　　所成的角的余弦值.