3.1.45空间向量的正交分解及其坐标表示.ppt

空间向量运算的坐标表示 二、距离与夹角的坐标表示 3.1.4空间向量的正交 分解及其坐标表示 平面向量基本定理： 平面向量的正交分解及坐标表示 x y o 复习： 在空间中，能得出类似的结论: 任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。 一、空间向量基本定理： 如果三个向量 不共面，那么对空间任一向量 ，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使 都叫做基向量 （1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。 注：对于基底{a,b,c},除了应知道a,b,c不共面， 还应明确： （2） 由于可视 为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是 。 （3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念。 x y z O Q P 由此可知，如果 是空间两两垂直的向量，那么，对空间任一向量 ，存在一个有序实数组 {x,y,z}使得 我们称 为向量 在 上的分向量。 这种分解我们把它叫做空间向量的正交分解. 二、空间直角坐标系下空间向量的直角坐标 单位正交基底：如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底,常用 e1 , e2 , e3 表示 x y z O A(x,y,z) e1 e2 e3 空间向量的直角坐标： 给定一个空间坐标系和向量 ,且设e1,e2,e3为坐标向量，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x,y, z)使 p = xe1+ye2+ze3 有序数组( x, y, z)叫做p在空间直角坐标系O--xyz中的坐标，记作.P=(x,y,z)其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标. 已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N，分别是对边OA，BC的中点，点P，Q是线段MN三等分点，用基向量OA，OB，OC表示向量OP,OQ. B O A C P N M Q 空间向量基本定理的考查 例1 变式 空间四边形OABC中,M在OA上,OM=3MA,N在BC上,且BN=2NC,设 ,用向量 表示 C B M N O A 小结： 1、选定空间不共面的三个向量作为基向量,并用它们表示出指定的向量,是用向量解决立体几何问题的基本要求； 2、求解时要结合已知和所求观察图形,联想相关的运算法则和公式,就近表示所需向量,再对照目标进行调整,直到符合要求. , 则 设 一、向量的直角坐标运算 若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 则 AB = OB-OA=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1) =(x2-x1 , y2-y1 , z2-z1) 空间一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个 向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. 1.距离公式 （1）向量的长度（模）公式 注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。 在空间直角坐标系中，已知　　　　　　、 　　　　，则 （2）空间两点间的距离公式 2.两个向量夹角公式 注意： 　（1）当　　　　　　 时，　　　同向； 　（2）当　　　　　　 时，　　　反向； 　（3）当　　　　　　 时，　　　。 例3.正方体ABCD—A1B1C1D1中，E1、F1分别是A1B1、C1D1的一个四等分点，求：BE1与DF1所成角的余弦值. 【应用举例】 　(1) 建立直角坐标系， (2)把点、向量坐标化， (3)对向量计算或证明。 例3.正方体ABCD—A1B1C1D1中，E1、F1分别是A1B1、C1D1的一个四等分点， 【应用举例】 变式1: E是A1B1的一个四等分点， 求证：AE∥DF1. E 所以AE∥DF1. 变式2: F是AA1的一个四等分点， 求证：BF⊥DF1. F 即BF⊥DF1. 例3.正方体ABCD—A1B1C1D1中，E1、F1分别是A1B1、C1D1的一个四等分点， 【应用举例】 G 变式3: G是BB1的一个四等分点， H为AA1上的一点，若GH⊥DF1， 试确定H点的位置