3.1.4空间向量的坐标运算1.ppt

* 空间向量分解定理 如果三个向量a, b, c不共面， 那么对空间任一向量p， 存在一个唯一的有序实数组x，y，z， 使p=xa +yb+zc. 定理 这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底{i, j, k}这个基底叫做单位正交基底,单位向量i, j, k都叫做坐标向量. 一、空间向量的直角坐标运算 1.空间直角坐标系与原点: O-xyz 2.坐标向量: 3.坐标平面 通过每两个坐标轴的平面，分别称为xOy平面, yOz平面, zOx平面. 4.右手直角坐标系 i, j, k 建立空间直角坐标系Oxyz,分别沿x轴, y轴,z轴的正方向引单位向量i, j, k. 空间直角坐标系中的坐标 横坐标a1，纵坐标a2，竖坐标a3 . a=a1i+a2j+a3k 在空间直角坐标系Oxyz中,已知任一向量a,根据空间向量分解定理,存在唯一数组(a1,a2,a3),使 a1i,a2j,a3k 分别为向量a在i,j,k方向上的分向量, 有序数组(a1,a2,a3)，叫作向量a在此直角坐标系中的坐标.记作 a=(a1,a2,a3) 以 建立空间直角坐标系O—xyz 若A(x1,y1,z1) , B(x2,y2,z2), 则 AB = OB - OA=(x2-x1 , y2-y1 , z2-z1) 设a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，则 a+b= (a1 + b1 ， a2 + b2 ，a3+ b3)， a-b= (a1 - b1 ， a2 - b2 ，a3- b3)， λa= (λ a1 ，λ a2 ，λa3)(λ为实数)， a?b= a1 b1 + a2 b2 +a3 b3 . 则 (x，y，z)就是P的坐标, 即P(x，y，z) . 在空间直角坐标系Oxyz中,对空间任一点P,相对与原点确定了一个向量OP，设 OP=xi+yj+zk 设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2) AB=OB-OA = (x2，y2，z2)-(x1，y1，z1) =( x2 -x1，y2-y1，z2-z1). 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个 向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. 中点坐标公式 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2) 设M为AB中点，M点坐标为M(x0,yo,zo)， 其中x0=(x1+x2)/2 ，y0=(y1+y2)/2 ，z0=(z1+z2)/2. a∥b= a1 a2 a3 b1 b2 b3 二、空间向量平行和垂直的条件 a∥b (b≠0)=a=λb 即a∥b (b≠0)= a1=λb1, a2=λb2, a3=λb3, a?b=0 共线 垂直 a┻b a1 b1 + a2 b2 +a3 b3 =0 a┻b 例1 已知a=(1,1,0),b=(0,1,1),c=(1,0,1), p=a-b,q=a+2b-c,求:p, q, p?q. 解:p=a-b =(1,1,0)-(0,1,1) =(1,0,-1)， q=a+2b-c =(1,1,0)+2(0,1,1)- (1,0,1) =(0,3,1)， p?q=(1,0,-1)?(0,3,1) =1?0+0?3+(-1)?1 =-1. 例题 例2 已知向量a=(-2,2,0),b=(-2,0,2), 求向量n使n⊥a,且n⊥b. 解:设n=(x, y, z,)则 n?a=(x, y, z,)?(-2,2,0)=-2x+2y=0 n?b=(x, y, z,)?(-2,0,2)=-2x+2z=0 所以y=x, z=x 于是n= (x, x, x)=x(1,1,1), 显然当x取任意实数时,可以得到无数个 向量都满足题意. 三、两个向量夹角与向量长度的坐标计算公式 设a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3). 空间两点间的距离公式 例3 已知A(3,3,1)，B(1,0,5)求 线段 AB的中点坐标和长度. z x y o A(3,3,1) B(1,0,5) M 解：设M(x,y,z)是AB的中点，则 OM= (OA+OB) AM=MB 例4 已知A(3,3,1)，B(1,0,5)求 到A，B两点距离相等的点P(x,y,z)的坐标x